Dreimal partiell integrieren

01.02.2018, 12:53	DieLisawillhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
Dreimal partiell integrieren Meine Frage: Hallo. $\begin{eqnarray} \int_{0}^{2\pi} \! \int_{\frac{\phi}{2\pi} }^{\frac{\phi}{\pi} } \! \begin{pmatrix} cos(\phi) \\ sin(\phi)\end{pmatrix} r^2 \, dr \, d\phi \end{eqnarray}$ ich muss das berechnen. Meine Ideen: Meine Idee ist einfach ganz normal berechnen. Dann komme ich aber an eine stelle wo ich drei mal Partiell Integrieren muss und das in einer Klausuraufgabe! Für sowas gibt es keine zeit in der Klausur. Daher meine frage wie könnte ich dieses Integral möglichst schnell lösen?
01.02.2018, 13:46	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Musst das ganze ja nicht per partieller Integration machen: Wenn man sich überlegt, welche Struktur rauskommen wird, kann man auch den Ergebnisansatz $\begin{eqnarray} &&\left[ (A\phi^3+B\phi^2+C\phi+D)\cos(\phi) + (E\phi^3+F\phi^2+G\phi+H)\sin(\phi) \right]'\\ &=& (E\phi^3+(3A+F)\phi^2+(2B+G)\phi+C+H)\cos(\phi) + (-A\phi^3+(3E-B)\phi^2+(2F-C)\phi+G-D)\sin(\phi) \end{eqnarray}$ verwenden, um das per Koeffizientenvergleich mit den Zielergebnissen $\begin{eqnarray} \phi^3\cos(\phi) \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \phi^3\sin(\phi) \end{eqnarray}$ abzugleichen, das geht relativ schnell.
01.02.2018, 13:54	DieLisawillhilfe	Auf diesen Beitrag antworten »
check ich nicht
01.02.2018, 13:56	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn einem eine "schöne" Darstellung am Ende nicht wichtig ist, kann man auch $\begin{eqnarray} (\cos \phi, \sin \phi) = e^{i\phi} \end{eqnarray}$ identifizieren. Mit der Reihendarstellung kann man dann summandenweise integrieren.
01.02.2018, 13:56	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Dann lass es. Solch einsilbige Äußerungen nehme ich nicht zum Anlass, das noch ausführlicher auszubreiten.
03.02.2018, 09:31	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Vielleicht liegt es auch nur daran, daß die Integrationsreihenfolge ungünstig gewählt wurde. Zu integrieren ist über die rot schraffierte Fläche. [attach]46450[/attach] Man integriert zunächst über die Fläche aus beiden schraffierten Dreiecken und subtrahiert das Integral über die grün schraffierte Fläche: $\begin{align} \int \limits_0^2 \int \limits_{\pi r}^{2 \pi} r^2 \cos \varphi ~ \dd \varphi ~ \dd r \ - \int \limits_0^1 \int \limits_{2 \pi r}^{2 \pi} r^2 \cos \varphi ~ \dd \varphi ~ \dd r \ = \ \int \limits_0^1 r^2 \sin \left( 2 \pi r \right) ~ \dd r \ - \ \int \limits_0^2 r^2 \sin \left( \pi r \right) ~ \dd r \end{align}$ Im zweiten Integral wird $\begin{align} r \end{align}$ durch $\begin{align} 2r \end{align}$ substituiert: $\begin{align} = \int \limits_0^1 r^2 \sin \left( 2 \pi r \right) ~ \dd r \ - \ 8 \int \limits_0^1 r^2 \sin \left( 2 \pi r \right) ~ \dd r \ = \ -7 \int \limits_0^1 r^2 \sin \left( 2 \pi r \right) ~ \dd r \end{align}$ Und jetzt wird partiell integriert: $\begin{align} = \frac{7}{2 \pi} \left( 1 - 2 \int \limits_0^1 r \, \cos \left( 2 \pi r \right) ~ \dd r \right) \end{align}$ Noch einmal partiell integrieren zeigt, daß das verbleibende Integral verschwindet. Somit erhält man $\begin{align} = \frac{7}{2 \pi} \end{align}$ Und die Komponente mit dem Sinus wird entsprechend integriert. Oder man greift den Vorschlag von IfindU auf und geht übers Komplexe.
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