Ungleichung mit Mittelwertsatz der Differentialrechnung |
01.02.2018, 20:19 | forbin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ungleichung mit Mittelwertsatz der Differentialrechnung mit der folgenden Aufgabe komme ich leider absolut nicht klar. Mit Hilfe des MWS der Differentialrechnung soll gezeigt werden: Für gilt: Durch den Betrag ist doch die linke Seite bei x=1 schon nicht mehr differenzierbar. Wie soll ich dann den MWS anwenden? |
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01.02.2018, 20:32 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was ist a?
Du sollst ja den Mittelwertsatz nicht unbedingt auf anwenden. |
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01.02.2018, 20:48 | forbin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh, das a sollte eine 1 sein, habe es verbessert. Ja, ich habe schon mal gedacht, dass ich die Differenz oder den Quotienten bilde, aber damit bleibt mir doch die nicht differenzierbare Stelle erhalten Also ich bin da in der Vorlesung nicht durchgestiegen und beiße mir jetzt hieran wirklich die Zähne aus. Ich sehe den Zusammenhang einfach nicht, Der Satz sagt mir, dass es irgendwo eine Stelle gibt, deren Tangensteigung gleich der Sekantensteigung zwischen zwei vorher festgelegten Punkten ist. |
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01.02.2018, 21:00 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wende den Mittelwertsatz auf die Funktion im Intervall (falls ) bzw. (falls ) an. |
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01.02.2018, 21:11 | forbin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich nehme das Intervall [1,x]. So? |
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01.02.2018, 21:19 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig soweit. Aus welchem Intervall kommt das ? Damit kannst du in der Gleichung die rechte Seite nach oben abschätzen. |
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01.02.2018, 21:22 | forbin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achja, das kommt aus dem selben Intervall. Also gilt: . Und nun kann ich x-1 auf die rechte Seite multiplizieren. |
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01.02.2018, 21:27 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Richtig. Damit hast du die Ungleichung schon für bewiesen (in diesem Fall ist ja und ). |
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01.02.2018, 21:30 | forbin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ohne Witz, dass ist einer der Momente wo ich sage "Ich habe gerade wirklich was gelernt!". Danke!! |
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01.02.2018, 21:55 | 10001000Nick1 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sehr schön. Für den Fall konntest du die Ungleichung auch zeigen? Es gibt übrigens noch viele weitere Ungleichungen, die man mit dem Mittelwertsatz beweisen kann, z.B. für alle oder für . Das Prinzip ist eigentlich immer dasselbe: Man zeigt mithilfe des Mittelwertsatzes, dass für eine stetige Funktion , die auf differenzierbar und beschränkt ist, gilt: . (Das ist der Schrankensatz). |
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01.02.2018, 23:03 | forbin | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wähle . Dann gilt nach MWS: Dann wie oben |
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