Integral - Stammfunktion

02.02.2018, 23:26	mojili	Auf diesen Beitrag antworten »
Integral - Stammfunktion Meine Frage: Hallo! Ich suche eine Stammfunktion für folgende Funktion g(x) = ( f'(x) ) / ( Wurzel aus (f(x)^2 - 1) ) Vielen Dank für Hilfe! Meine Ideen: Diese Stammfunktion würde fast passen: G(x) = 2( f(x)^2 - 1)^(1/2) G'(x) = 1/2 2 * ( f(x)^2 - 1)^(-1/2) * 2* f(x) * f'(x) = 2 * f(x) * f'(x) / (Wurzel aus ( f(x)^2 - 1)) Bis auf den Faktor 2 * f(x) stimmt es ja. Aber wie bekomme ich diesen Faktor weg, sodass ich genau G'(x) = g(x) erhalte?
03.02.2018, 02:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach Substitution $\begin{eqnarray} u=f(x) \end{eqnarray}$ gilt offenbar $\begin{eqnarray} \int \frac{f'(x)}{\sqrt{(f(x))^2-1}} ~ \dd x = \int \frac{1}{\sqrt{u^2-1}} ~ \dd u \end{eqnarray}$ , und letzteres kann man als Grundintegral betrachten mit Ergebnis $\begin{eqnarray} \operatorname{arcosh}(u) \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} G(x) = \operatorname{arcosh}(f(x)) + C \end{eqnarray}$ .

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