Lemma von Fatou für Mengen

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Lemma von Fatou für Mengen
Hallosmile

ist der Raum der beschränkten und rechtsstetigen Funktionen auf .

Für sei

Wenn für auch , so ist x offensichtlich stetig.
Sei bein Wahrscheinlichkeitsmaß

Ich weiß nun schon ,dass für alle ein existiert so, dass wenn , folgt

Jetzt muss ich zeigen, dass für gilt:


Ich hatte daran gedacht, das mit dem Lemma von Fatou zu machen. Aber die sind ja hier Mengen und keine messbaren Funktionen.

Ein anderer Ansatz wäre, das über die Gegenwahrscheinlichkeit zu machen. Aber ich weiß nicht wirklich was über .

Vielen Dank schon mal!

Liebe Grüße

Robin
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lemma von Fatou für Mengen
Es gilt falls . Damit kannst du per Definition vom liminf zeigen, dass für alle ist.
 
 
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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Danke für deine Antwort!

Aber ich kann damit doch Fatou nicht anwenden, oder vergesse ich was?

LG
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lemma von Fatou für Mengen
Man könnte sich die Folge durch auf und sonst definieren. Dann kann man sich fragen wie sich auf überträgt. Wenn man zeigen kann, dass punktweise gegen die Charakteristische Funktion von konvergiert, so kann man Fataou anwenden. Ist aber alles unnötig kompliziert.
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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Ich sehe nur nicht, wie ich mit deiner ersten Aussage zeigen soll, dass .

Ich bin mir nicht mal sicher, ob ich dass immer so sagen kann, da sich das Delta ja immer ändert.

Ich hatte mir noch Überlegt das mit Borel-Cantelli (2) für zu zeigen. Da habe ich aber das Problem, dass die paarweise unabhängig sein müssen.

Danke und liebe Grüße!
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lemma von Fatou für Mengen
Du hast Recht. Es muss nicht monoton sein. Es folgt dennoch direkt mit der Definition von liminf.

Es gilt allgemein, dass . Beachte, dass monoton wachsend in ist. Demnach ist nach Stetigkeit von dann . Und da ist, folgt die Ungleichung.

Hoffentlich habe ich mich nicht wieder verrant.
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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Hismile

Also wenn allgemein schon gilt, dann bin ich im Grunde ja schon fertig, weil das ja wie Fatou für Mengen ist.

Dann hätte ich:




Aber darum ging es ja. Ich weiß eigentlich nicht, dass

Kann mich nicht entsinnen das mal in Ana 3 gehört zu haben.

Liebe Grüße
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lemma von Fatou für Mengen
Danach habe ich ja einen Beweis geliefert. Beachte, dass ist.
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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Danke Danke!!

Ich verstehe nur noch einen Schritt nicht:

Zitat:
Original von IfindU
Demnach ist nach Stetigkeit von dann .



Aber wenn das dann so richtig ist, ist die Argumentation:



Richtig?

Liebe Grüße
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lemma von Fatou für Mengen
Das ist richtig. Und der fehlende Schritt ist eine allgemeine Aussage für Maße:
Wikipedia.
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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Ah jetzt erinnere ich mich! Vielen Dank!

Und das ich dann am Ende nur noch mit dem Limes und nicht mehr mit dem Limes Inferior argumentiere ist mathematisch so sauber?

Weil wir ja am Anfang zeigen wollten:

IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lemma von Fatou für Mengen
Ahso. Tut mir leid. Das habe ich nicht genau gesehen. Du weißt nicht, dass existiert. Aber du kannst benutzen, dass ist. Dann ist die Abschätzung legitim.

Das ist hier aber nicht wichtig, weil wir rausbekommen, dass existiert und gleich dem Wert 0 ist. A posteriori ist das also rechtfertigbar.
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RE: Lemma von Fatou für Mengen
Danke nochmals!

Warum gilt das:

Zitat:
Original von IfindU
Aber du kannst benutzen, dass ist.


Auch wieder in den verstaubten Winkeln meiner Erinnerungen an Ana 3 oder Wikipedia? Augenzwinkern
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lemma von Fatou für Mengen
Nun, das ist wirklich Analysis 1.
Für jede reelle Folge gilt. Ist , so konvergiert und es gilt . Und wenn konvergiert, so gilt ebenfalls .

Oder noch kürzer: Falls eine Folge konvergiert, konvergiert jede Teilfolge, und das gegen den gleichen Grenzwert.

Oder: Eine konvergente Folge besitzt nur einen Häufungspunkt, und das ist sein Grenzwert. Und limsup ist größte Häufungspunkt und liminf der kleinste. Wenn es nur einen gibt, sind wieder alle Werte gleich.
[email protected] Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lemma von Fatou für Mengen
Ja das verstehe ich.
villeicht stelle ich mich grade einfach nur doof an, aber ich kann doch nur sagen dass



wenn ich weiß, dass der Grenzwert existiert. Und war das nicht gerade der Punkt?

Oder ist es ok, wenn ich vor der Rechnung einmal sage, dass: und somit existiert der Grenzwert?

Liebe Grüße
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Lemma von Fatou für Mengen
Das könntest du. Der Grenzwert bei existiert aber immer, da eine monotone, beschränkte Folge ist.
Und dann gilt eben mit der "punktweisen" Abschätzung sofort .
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