Stellen mit bestimmter Steigung berechnen

04.02.2018, 20:28

Mathusalem

Stellen mit bestimmter Steigung berechnen

Meine Frage:
Kompletter Wortlaut der Aufgabe:

Man berechne alle Stellen x mit x E[3;3,5], an denen die Kurve der Funktion f(x) = 2 sin (4x-2) den Anstieg 4 hat.

Meine Ideen:
Also ich habe schon die erste Ableitung per Kettenregel gebildet. Sie lautet f'(x) = 8*cos(4x-2). Normalerweise würde man ja einen x oder y Wert gegeben haben und könnte die Aufgabe lösen. Ich scheitere aber an dem x E[3;3,5] und der Periodizität der Funktion. Bitte helfen. Danke im Voraus.

04.02.2018, 21:55

mYthos

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Das Interval $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ schränkt lediglich die Anzahl der Lösungen ein, denn periodische Funktionen, wie es die trigonometrischen Funktionen (sin, cos, ..) nun mal sind, können sehr viele Nullstellen haben.
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Erstelle also zunächst eine Gleichung mittels der 1. Ableitung und der Steigung, und löse diese zunächst allgemein*. Wie sieht diese Gleichung aus?
Wenn du so weit bist, und es immer noch hakt, frage bitte entsprechend nach.
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(*)Beispiel:

$\begin{eqnarray*} \sin 3x = \frac 1 2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 3x = \frac{\pi}6 + 2k \pi \ \vee \ 3x = \frac{5\pi}6 + 2k \pi \ ; \ k \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x = \frac{\pi}{18} + k \frac{2\pi} 3 \ \vee ... \end{eqnarray*}$

Du musst nun für die Lösungen deiner Gleichung jene $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ wählen, für die diese in das Intervall $\begin{eqnarray*} E \end{eqnarray*}$ fallen.

mY+

04.02.2018, 22:47

Mathusalem

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ich bekomme für x = (pi/3+2)/4 = 0,7617...
Wie ist das nun zu interpretieren ?

05.02.2018, 09:26

klarsoweit

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Mythos hat es dir doch an einem Beispiel vorgemacht. Du mußt dieses nur auf die Gleichung cos(4x-2) = 1/2 adaptieren:

$\begin{eqnarray*} cos(4x-2) = \frac 1 2 \Rightarrow 4x-2 = \frac{\pi}{3} + 2k \pi \vee 4x-2 = ... \end{eqnarray*}$

Anschließend mußt du schauen, für welche k das x in dem gesuchten Intervall liegt.

05.02.2018, 10:24

mYthos

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Zitat:

Original von Mathusalem
ich bekomme für x = (pi/3+2)/4 = 0,7617...
...

Das ist zwar auch eine (richtige) Lösung der vielen möglichen, nur liegt diese nicht in dem geforderten Intervall.
Mittels Einführung des Faktors k zur Periodenlänge berechnest du x nochmals allgemein in diesem.
Übrigens wirst du im "oder"-Zweig nicht fündig, untersuchen musst du ihn dennoch allemal.

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mY+

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