Winkel aus Abständen und Radius bestimmen

07.02.2018, 11:10

cleanslate

Winkel aus Abständen und Radius bestimmen

Hallo Leser,

Für eine Berechnung benötige ich einen Winkel, der durch einen Radius und eine anschließende tangentiale Strecke definiert wird, die wiederum einen definierten Abstand zwischen Startpunkt und Endpunkt haben. Am einfachsten ist es sicher über das angehängte Bild zu erklären.

Gegeben sind die Werte x, z und R.
Gesucht ist der Winkel ALPHA

Meine Idee war nun, die Strecken s und t über die beiden Dreiecke zu berechnen, die durch die Kanten t und x bzw. s und r aufgespannt werden. Als Formeln hätte ich:

$\begin{eqnarray*} z=t+s \end{eqnarray*}$

mit t:

$\begin{eqnarray*} t=\frac {x} {~\tan(~\alpha)} \end{eqnarray*}$

und s:

$\begin{eqnarray*} s=R \cdot ~\tan(\frac{~\alpha} {2}) \end{eqnarray*}$

Als Resultat ergäbe sich dann:

$\begin{eqnarray*} z=\frac {x} {~\tan(~\alpha)} + R \cdot ~\tan(\frac{~\alpha} {2}) \end{eqnarray*}$

Leider fehlt mir eine Idee, die Gleichung nun nach alpha aufzulösen.

Ist das der richtige Ansatz oder gibt es einen einfacheren Weg, den Winkel zu bestimmen?

Es wäre spitze, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Vielen Dank,

cleanslate

07.02.2018, 12:32

mYthos

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Verwende

$\begin{eqnarray*} tan (2x) = \frac{2 \tan x}{1-\tan^2 x} \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x = \frac{\alpha} 2 \end{eqnarray*}$

dann müsste das gehen (ich hab's noch nicht durchgerechnet)

mY+

07.02.2018, 13:22

mYthos

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Weil es bei dir schon die Strecke $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ gibt und somit Verwirrung entstehen kann, setze eben

$\begin{eqnarray*} \tan \frac{\alpha} 2 = u \ \to \ \tan \alpha = \frac{2u}{1-u^2} \end{eqnarray*}$

Dann kommst du auf eine quadratische Gleichung in u!

mY+

07.02.2018, 15:16

cleanslate

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Hallo mY+,

deine Substitution hat geholfen! Danke dir!

Als Lösung erhalte ich demnach (mit Wolframalpha zur Lösung der quadratischen Gleichung):

$\begin{eqnarray*} ~\tan( \frac {~\alpha} {2})=u=\frac {\sqrt{x^{2}-2 \cdot x \cdot R+z^{2}}-z} {x-2 \cdot R} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich das Problem, dass für $\begin{eqnarray*} r = \frac {x}{2} \end{eqnarray*}$ zwar eine geometrische und auch mathematische Lösung existiert, aber ich dies gerne in einer Formel darstellen würde, da eine WENN Abfrage nicht möglich ist.

Hat jemand noch eine Idee, wie ich das mathematisch lösen kann ohne mir die Ergebnisse zu "versauen" (Die Winkel für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ liegen bei maximal 20°)?

Vielleicht wäre eine Näherung noch ein Weg. Gibt es Vorschläge dazu?

Vielen Dank.

07.02.2018, 16:01

Steffen Bühler

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Willkommen im Matheboard!

Zwei algebraische Ansätze:

Mein CAS liefert für $\begin{eqnarray*} z=\frac {x} {\tan(\alpha)} + R \cdot \tan \left( \frac{\alpha} {2} \right) \end{eqnarray*}$ vier Lösungen für $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ , die zwar sehr unschön sind, aber zumindest auch $\begin{eqnarray*} R = \frac x2 \end{eqnarray*}$ erlauben.

Außerdem kann man $\begin{eqnarray*} \alpha \end{eqnarray*}$ auch als den Winkel einer komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} z+i \cdot (x-R) + R \cdot e^{i \cdot \varphi} \end{eqnarray*}$ betrachten, den es zu minimieren gilt. Das läuft auf eine deutlich einfachere Formel raus.

Viele Grüße
Steffen

07.02.2018, 16:17

HAL 9000

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Zitat:

Original von cleanslate
$\begin{eqnarray*} ~\tan( \frac {~\alpha} {2})=u=\frac {\sqrt{x^{2}-2 \cdot x \cdot R+z^{2}}-z} {x-2 \cdot R} \end{eqnarray*}$

Nun habe ich das Problem, dass für $\begin{eqnarray*} r = \frac {x}{2} \end{eqnarray*}$ zwar eine geometrische und auch mathematische Lösung existiert, aber ich dies gerne in einer Formel darstellen würde, da eine WENN Abfrage nicht möglich ist.

Erweitern deiner Formel mit $\begin{eqnarray*} (\sqrt{x^2-2xR+z^2}+z) \end{eqnarray*}$ sowie anschließendes Kürzen von $\begin{eqnarray*} x-2R \end{eqnarray*}$ liefert $\begin{eqnarray*} \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{x}{\sqrt{x^2-2xR+z^2}+z} \end{eqnarray*}$ .

07.02.2018, 16:52

mYthos

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.. und somit ist im Fall $\begin{eqnarray*} x = 2R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \tan \frac{\alpha} 2 = \frac R z \ \text{ oder }.. = \frac x {2z} \end{eqnarray*}$

was du auch bereits bei bzw. VOR dem Erstellen der quadratischen Gleichung erhalten hättest.
Der Koeffizient des quadratischen Gliedes wird dann Null (durch diesen ist nun nicht mehr zu dividieren), somit liegt eine lineare Gleichung vor (!)
Daher muss dieser Fall NICHT in der quadratischen Gleichung behandelt werden.

mY+

07.02.2018, 23:47

riwe

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eine Variante:
du löst nicht für den halben Winkel sondern

$\begin{eqnarray*} tan\alpha=\frac{Z\cdot(X-R)+R\sqrt{Z^2+X\cdot(X-2R)}}{Z^2-R^2} \end{eqnarray*}$

was dann für X = 2R ergibt

$\begin{eqnarray*} tan\alpha=\frac{2RZ}{Z^2-R^2} \end{eqnarray*}$

wie es sein soll Augenzwinkern

08.02.2018, 10:09

cleanslate

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Liebe Helfer,

herzlichen Dank! Ihr habt mir sehr geholfen.

Ich hab mir unter anderem die Erweiterung von HAL9000 näher angeschaut und sehe bei ihr keine Probleme.

Da ich z=r nicht ausschließen kann und auch mehrere Formeln nicht in Frage kommen, bleib ich gerade bei dem, was ich hab.

Vielen Dank aber auch für alle anderen Anregungen und Beiträge!

Ihr seid spitze!

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