Dichtefunktion X*Y

08.02.2018, 14:49

Stefsn

Dichtefunktion X*Y

Hallo,

ich bin gerade dabei mich auf eine Klausur vorzubereiten und stecke gerade bei folgendem Problem.
Die Aufgabe sieht aus wie folgt:
Gegeben sei die gemeinsame Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} f(x,y)=c \cdot x^2y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} -2\leq x\leq 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq y\leq 2 \end{eqnarray*}$

a) Bestimmen Sie c.

$\begin{eqnarray*} \int_{-\infty}^{\infty} \! \int_{-\infty}^{\infty} \! f(x,y) \, dy dx = \int_{-2}^{1} \! \int_{0}^{2} \! c \cdot x^2y \, dy dx =6c \overset{! }{=} 1 \Leftrightarrow c= \frac{1}{6} \end{eqnarray*}$

b) Bestimmen Sie die Randdichte X über Y.

$\begin{eqnarray*} f_X(x)=\int_{-\infty}^{\infty} \! f(x,y) \, dy = \int_{0}^{2} \! \frac{1}{6} \cdot x^2y \cdot 1_{[-2\leq x\leq 1]} (x) \, dy = \frac{1}{3}x^2\cdot 1_{[-2\leq x\leq 1]} \end{eqnarray*}$

c) Sind X und Y unabhängig?

Analog zu b) ergibt sich für $\begin{eqnarray*} f_Y(y) = \frac{1}{2}y \cdot 1_{[0\leq y\leq 2]} \end{eqnarray*}$

Da gilt: $\begin{eqnarray*} f_Y(y) \cdot f_X(x) = f(x,y) \end{eqnarray*}$ folgt, das $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ unabhängig sind.

d) Bestimmen Sie die Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} X \cdot Y \end{eqnarray*}$ .

Hier, bei Aufgabenteil d) habe ich meine Schwierigkeiten. Es ist gewünscht, dass zur Berechnung der Dichtefunktion $\begin{eqnarray*} X \cdot Y \end{eqnarray*}$ die Verteilungsfunktion ermittelt werden soll und dann abgeleitet wird.

Meine Idee:
Die Maximalen Grenzen bestimmen.
$\begin{eqnarray*} z \in [-4;2] \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} F_{X \cdot Y}(z) = P(X \cdot Y \leq z) = P \left( Y \leq \frac{z}{X} \right)<br /> =\int_{-2}^{1} \! \int_{0}^{max\{ \frac{z}{X},2 \} } \! \frac{1}{6} \cdot x^2y \, dy dx \end{eqnarray*}$

Ich vermute, weil wir ein "leichteres" Beispiel in der VL behandelt haben, dass sich das umschreiben lässt zu:

$\begin{eqnarray*} =\int_{-2}^{z} \! \int_{0}^{2} \! \frac{1}{6} \cdot x^2y \, dy dx + \int_{z}^{1} \! \int_{0}^{ \frac{z}{X}} \! \frac{1}{6} \cdot x^2y \, dy dx = ... \end{eqnarray*}$

Ich wüsste jetzt aber nicht, warum das so richtig wäre. Vielleicht kann mir jemand Step by Step erklären, wie ich die Grenzen Sinnvollerweise, auch aus welchen Gründen, auseinander ziehe.

Schon mal vorab Vielen Dank für Tatkräftige Unterstützung: :-)

EDITIERT: X*Y --> $\begin{eqnarray*} X \cdot Y \end{eqnarray*}$

08.02.2018, 15:39

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stefsn
$\begin{eqnarray*} P(X \cdot Y \leq z) = P \left( Y \leq \frac{z}{X} \right) \end{eqnarray*}$

Böse Falle: Da dein $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ auch negative Werte mit positiver Wahrscheinlichkeit annehmen kann, ist diese Gleichheit bereits falsch (Regeln der Ungleichungsumformung!!!).

Gehe also besser über $\begin{eqnarray*} P(X \cdot Y \leq z) = P \left( X \leq \frac{z}{Y} \right) \end{eqnarray*}$ , denn bei $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ besteht diese Gefahr nicht.

08.02.2018, 15:39

Stefsn

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Also ich habe das mal runtergerechnet, man würde auf eine Dichte von 1 kommen. Die Grenzen scheinen also so in diesem Style zu passen. Interessant wäre jetzt nur noch, warum genau so!

Und ein müsst ihr mir entschuldigen, die Aufgabe habe ich mir selber ausgedacht. Deshalb ist sie nicht ganz glaubwürdig. Sehe gerade, das die Dichtefunktion auch teils negative Werte annimmt. geschockt

08.02.2018, 15:43

Stefsn

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Zitat:

Ah. Ok, und das geht so einfach? Dann werde ich das mal probieren. Wird nur sicher wieder Schwierigkeiten mit den Grenzen aufstellen geben. Hammer

Aber kannst du nochmal ganz langsam erklären, angenommen, ich hätte es falsch gemacht wie oben, wie man da bzgl. der Grenzen vorgeht?

08.02.2018, 15:53

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stefsn
Ah. Ok, und das geht so einfach?

Wer sagt, dass das einfach wird? Eine Fallunterscheidung bzgl. z wird wohl nicht zu vermeiden sein, und das Integral wird man auch noch aufteilen müssen, um die max/min in

$\begin{eqnarray*} P\left(X\leq \frac{z}{Y}\right) = \int\limits_0^2 ~ \int\limits_{-2}^{\max\left\{-2,\min\left\{\frac{z}{y},1\right\}\right\}} \frac{x^2y}{6} ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

richtig aufzulösen...

08.02.2018, 16:09

Stefsn

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Ah Nein. Das hast du falsch verstanden. Aber ich weiß wie du es jetzt meinst. Weil mein X auch negative Werte hätte annehmen können, hätte ich da schon eine art " Splitting" machen müssen. Die bleibt mir zu diesem Zeitpunkt erstmal erspart, wenn ich nur Y umstelle.

Quote: Deine letzte Gleichung

Und jetzt wären wir halt wieder an dem Punkt, wie ich im Einführungstext geschrieben habe, wie sind diese Grenzen ersichtlich. Du scheinst das alles so stark durchdrungen zuhaben, sodass du das auf einem Blick siehst.
Kannst du mir dazu vielleicht etwas sagen?

Also einerseits das setzen der Grenzen, andererseits wie man das lesen muss um das Integral korrekt auseinander zu ziehen.

08.02.2018, 16:41

HAL 9000

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Offenkundig wird im inneren Integral maximal bis $\begin{eqnarray*} \frac{z}{y} \end{eqnarray*}$ integriert, aber auch maximal bis 1, das ergibt maximal bis $\begin{eqnarray*} \min\left\{ \frac{z}{y},1 \right\} \end{eqnarray*}$ . Andererseits darf dieser Wert aber auch nicht unter -2 rutschen, was bei negativen $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ durchaus passieren kann! Daher muss auch das nach unten abgefangen werden, eben durch $\begin{eqnarray*} \max\left\{-2,\min\left\{ \frac{z}{y},1 \right\}\right\} \end{eqnarray*}$ .

08.02.2018, 16:46

Stefsn

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Ah Cool. Ich danke dir. Also es gibt keine wirklich Rechenvorschrift. Man muss sozusagen auf die Grenzen schauen und überlegen, was könnte passieren.

Damit wäre Frage 1 abgehakt. :-)

Dann würde mich als nächstes interessieren, wie ich die Integrale auseinander ziehen kann. Wie muss man bei so etwas Step by Step vorgehen und auf was achte ich da. Bisher erscheint mir das auseinanderliegen noch sehr confus, weil sich überall dann die Grenzen ändern. :-/

Eventuell auch an meinem Falschen Integral von oben, dann kann ich das vielleicht versuchen auf das richtige Integral von dir anzuwenden.

08.02.2018, 17:56

HAL 9000

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Zitat:

Original von Stefsn
Ah Cool. Ich danke dir. Also es gibt keine wirklich Rechenvorschrift. Man muss sozusagen auf die Grenzen schauen und überlegen, was könnte passieren.

Man muss deshalb so genau auf die Grenzen schauen, weil die Dichtefunktionsdarstellung $\begin{eqnarray*} \frac{x^2y}{6} \end{eqnarray*}$ eben nur in diesen Grenzen gilt. Ansonsten hätte man auch schreiben können

$\begin{eqnarray*} P(XY\leq z) = P\left(X\leq \frac{z}{Y}\right) = \int\limits_0^{\infty} ~ \int\limits_{-\infty}^{\frac{z}{y}} f_{X,Y}(x,y) ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ ,

was zumindest für alle reellen Zufallsgrößen $\begin{eqnarray*} X,Y \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} P(Y>0)=1 \end{eqnarray*}$ (d.h. fast sicher positives $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ ) richtig ist. Nützt nur nicht viel für die konkrete Berechnung. Augenzwinkern

Zitat:

Original von Stefsn
Dann würde mich als nächstes interessieren, wie ich die Integrale auseinander ziehen kann. Wie muss man bei so etwas Step by Step vorgehen und auf was achte ich da.

Na fangen wir mal mit dem Fall $\begin{eqnarray*} 0\leq z\leq 2 \end{eqnarray*}$ an:

Offenbar ist dann angesichts $\begin{eqnarray*} y>0 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} \frac{z}{y}\geq 0 \end{eqnarray*}$ , das mit dem -2 interessiert hier also nicht, wir haben

$\begin{eqnarray*} F_{XY}(z) = \int\limits_0^2 ~ \int\limits_{-2}^{\min\left\{\frac{z}{y},1\right\}} \frac{x^2y}{6} ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Jetzt schauen wir uns an, wann der eine, und wann der andere Teil der Minimumbildung wirksam wird: Es ist $\begin{eqnarray*} \frac{z}{y} \end{eqnarray*}$ , sofern $\begin{eqnarray*} \frac{z}{y}\leq 1 \end{eqnarray*}$ ist, umgestellt $\begin{eqnarray*} y\geq z \end{eqnarray*}$ . Im anderen Fall $\begin{eqnarray*} y<z \end{eqnarray*}$ ist hingegen 1 das Minimum. Damit können wir aufsplitten

$\begin{eqnarray*} F_{XY}(z) = \int\limits_0^z ~ \int\limits_{-2}^1 \frac{x^2y}{6} ~ \dd x ~ \dd y ~+~ \int\limits_z^2 ~ \int\limits_{-2}^{\frac{z}{y}} \frac{x^2y}{6} ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$

Und dann endlich kann man ans Ausrechnen gehen. Ja, ist ein mühsames Geschäft...

Im Fall $\begin{eqnarray*} -4\leq z < 0 \end{eqnarray*}$ ist hingegen stets $\begin{eqnarray*} \frac{z}{y}<0 \end{eqnarray*}$ , hier passiert also nix von wegen Überschreiten der 1 und wir können vereinfachen

$\begin{eqnarray*} F_{XY}(z) = \int\limits_0^2 ~ \int\limits_{-2}^{\max\left\{-2,\frac{z}{y}\right\}} \frac{x^2y}{6} ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

Hier nun ist der Maximumwert $\begin{eqnarray*} \frac{z}{y} \end{eqnarray*}$ , sofern $\begin{eqnarray*} \frac{z}{y}\geq -2 \end{eqnarray*}$ , umgestellt nach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ ergibt das die Ungleichung $\begin{eqnarray*} y\geq -\frac{z}{2} \end{eqnarray*}$ . Im anderen Fall $\begin{eqnarray*} y< -\frac{z}{2} \end{eqnarray*}$ ist das innere Integral "leer", kann man also weglassen. Es ergibt sich

$\begin{eqnarray*} F_{XY}(z) = \int\limits_{-\frac{z}{2}}^2 ~ \int\limits_{-2}^{\frac{z}{y}} \frac{x^2y}{6} ~ \dd x ~ \dd y \end{eqnarray*}$ .

08.02.2018, 22:11

Stefsn

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Wow. Das wird ein harter Brocken zu schlucken. Aber ich werde es mal versuchen nachzuvollziehen. Ich schreibe dir, sobald ich damit durch bin. :-)

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