3D Baryzentrische Formel umstellen

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Gast#445566 Auf diesen Beitrag antworten »
3D Baryzentrische Formel umstellen
Meine Frage:
Hallo liebe Community !

Ich würde gerne folgende Formel, bzw Gleichungssystem nach b umstellen:
https://msdn.microsoft.com/en-us/library/bb195068.aspx

Px = (b1 * V1x) + (b2 * V2x) + (b3 * V3x);
Py = (b1 * V1y) + (b2 * V2y) + (b3 * V3y);
Pz = (b1 * V1z) + (b2 * V2z) + (b3 * V3z);

Leider bin ich verunsichert ob mir der Mathegott wohlgesonnen ist.
In welche Opferschale schmeisse ich meine Tribute um das korrekte Ergebnis zu bekommen? Augenzwinkern

Ist folgende Umstellung vielleicht schon korrekt?

Meine Ideen:
b1 = (Px/V1x) + (Py/V2x) + (Pz/V3x);
b2 = (Px/V1y) + (Py/V2y) + (Pz/V3y);
b3 = (Px/V1z) + (Py/V2z) + (Pz/V3z);
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast#445566
b1 = (Px/V1x) + (Py/V2x) + (Pz/V3x);
b2 = (Px/V1y) + (Py/V2y) + (Pz/V3y);
b3 = (Px/V1z) + (Py/V2z) + (Pz/V3z);

Nein, so einfach geht's nicht. unglücklich


Das ist ein ganz ordinäres lineares 3x3-Gleichungssystem

,

ich nehme an, du hast entsprechende Methoden der Lösung kennengelernt (Gaußalgorithmus, etc.)? verwirrt


Als komplette explizite Formel geschrieben könnte z.B. die Cramersche Regel zum Einsatz kommen, d.h.

mit ,

ist aber vom Rechenaufwand nicht die effizienteste Art damit umzugehen.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

wenn du öfters nur verschiedene haben solltest und/oder nur ein bestimmtes wissen willst,
dann ist der "Cramer" gut zu gebrauchen. smile
Gast#445566 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke soweit an euch beiden ! Gott

Falls euch also ein Punkt (P) im 3D Raum bekannt ist, sowie alle Koordinaten des Dreiecks (V1-3), würdet ihr mithilfe der Cramerschen Regel (+ der Regel des Sarrus für die Determinante), also die Baryzentrische Koordinate (b), ausrechnen?

Ich verstand die Baryzentrische Koordinate eigenlich als Skalar, bzw Gewichtung für jeden Eckpunkt. (wie ja auch der Kehrwert andeuted den Hal9000 zieht...)
Leider bekomme ich allerdings werte über 1 raus wenn ich Hal9000's Formel anwende.

Ich habe jetzt für b1 folgende Formel:

b1 = 1 / ( Px*V2y*V3z + V2x*V3y*Pz + V3x*Py*V2z - Pz*V2y*V3x - V2z*V3y*Px - V3z*Py*V2x )

Ginge Sarrus anstelle dem Gauß ?
Danke !
Gast#445566 Auf diesen Beitrag antworten »

*anstelle der Gauß'schen Regel.
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Gast#445566

Ginge Sarrus anstelle dem Gauß ?


Du hast anscheinend nur mit der Merkregel von Sarrus berechnet. Da fehlt noch eine Determinante als Faktor .

Mit "Gauß" hat das gar nichts zu tun.
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Gast#445566

Ich hatte oben nur auf das Gleichungssystem geschaut, und dabei gar nicht auf den Kontext geachtet:

Du redest von Baryzentrischen Koordinaten in 3D - dazu brauchst du aber nicht nur drei, sondern vier Punkte im Raum, die zudem nicht in einer Ebene liegen dürfen. Eindeutig werden die dann vierdimensionalen Koordinatenvektoren durch die Normierungsbedingung "Summe = 1".

Und Werte über 1 sind ja nicht ungewöhnlich für diese Koordinaten: Letztlich sind alle vier Koordinatenwerte positiv (und damit dann normiert automatisch auch kleiner als 1), wenn sich der Punkt im Inneren des durch die vier Ausgangspunkte aufgespannten Tetraeders befindet.
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