Sigma-Algebra-Struktur

09.02.2018, 17:00	Jeniffer H.	Auf diesen Beitrag antworten »
Sigma-Algebra-Struktur Hallo, wie beschreibe ich die Struktur einer Sigma algebra die nur endlich viele Elemente besitzt? " Die Sigma algebra enthält 2^n Elemente, wobei n die Anzahl der Atome sind, dazu die leere Menge und Omega" ist das die Struktur? Wenn ja, wie schreibe ich das mathematisch auf?
09.02.2018, 19:06	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Jeniffer, sagen wir mal, du hast eine Sigma-Algebra $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ und entnimmst dieser eine Menge $\begin{eqnarray} A\in\mathcal A \end{eqnarray}$ . Gemäß Sigma-Algebrenaxiom weißt du, dass dann auch $\begin{eqnarray} A^C\in\mathcal A \end{eqnarray}$ . Nun kann man sich überlegen, dass es genau zwei Möglichkeiten gibt, von denen genau eine zutrifft (und die andere nicht): (1) Es existiert eine nichttriviale disjunkte Partitionierung $\begin{eqnarray} A=A_1\stackrel{.}\cup A_2 \end{eqnarray}$ von A, mit $\begin{eqnarray} A_1,A_2 \in\mathcal A \end{eqnarray}$ . (2) Ist $\begin{eqnarray} B\in\mathcal A \end{eqnarray}$ eine Menge mit $\begin{eqnarray} B\subseteq A \end{eqnarray}$ , so folgt $\begin{eqnarray} B=\emptyset \end{eqnarray}$ . Setzen wir nun A = Omega, und tritt (2) ein, so haben wir ein System $\begin{eqnarray} \mathcal A \end{eqnarray}$ mit 2 Elementen/Mengen und sind fertig. Andernfalls gibt es eine disjunkte Partitionierung $\begin{eqnarray} \Omega=A\stackrel{.}\cup A^C,\; A\neq \emptyset \end{eqnarray}$ und wir haben nun mindestens 4 Mengen, die mitspielen müssen. Im zweiten Durchlauf, falls (2) eintritt, haben wir genau 4 Elemente (das müsste man evtl noch ein wenig genauer begründen). Ansonsten gibt es eine weitere disjunkte Partitionierung und wir sind bei mindestens 8 Elementen. Da Endlichkeit vorausgesetzt ist, muss dieser 'Algorithmus' irgendwann terminieren. (Man müsste evtl. noch genauer herausstellen, wie hier ganz konkret die Sigma-Algebrenaxiome einfließen.) LG sibelius84

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