Übung zu Abgeschlossen, Offen, Beschränkt

10.02.2018, 15:26	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Übung zu Abgeschlossen, Offen, Beschränkt Hallo, Bereite mich gerade auf die Klausur vor und bin mir bei diesen drei Begriffen noch nicht so sicher. Folgende Aufgaben: Bestimmen Sie jeweils $\begin{eqnarray} \delta A \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} Int(A) \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} \bar{A} \end{eqnarray}$ . Ist A abgeschlossen, offen, beschränkt? a) $\begin{eqnarray} A=\{(x,y,z) \| x^2+y^2+z^2<1\}\subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ b) $\begin{eqnarray} A=\{(x,y)\|0<x<3\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ c) $\begin{eqnarray} A=\{(x,y) \| 0\leq x\leq 3 ,y\geq -5\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ d) $\begin{eqnarray} A=\{(x,y) \| xy=0\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ Lösung: a) $\begin{eqnarray} Int(A)=\{(x,y,z)\|x^2+y^2+z^2<1\}\subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \bar A=\{(x,y,z)\|x^2+y^2+z^2\leq1\}\subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta A=\{(x,y,z)\|x^2+y^2+z^2=1\}\subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ A ist offen, da jeder Punkt $\begin{eqnarray} a\in A \end{eqnarray}$ innerer Punkt ist. A ist beschränkt, da die Quadratfunktion immer positiv ist, also kann man A auch schreiben als: $\begin{eqnarray} A=\{(x,y,z)\|0\leq x^2+y^2+z^2<1\}\subset \mathbb R^3 \end{eqnarray}$ A ist nicht abgeschlossen, da die Randpunkte nicht in A liegen. b) $\begin{eqnarray} Int(A)=\{(x,y)\|0<x<3, y beliebig\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \bar A=\{(x,y)\|0\leq x\leq 3, y beliebig\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta A=\{(x,y)\|x=0, y beliebig \vee x=3, y beliebig\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ A ist nicht beschränkt, da y nicht beschränkt ist (?). A ist offen, da es zu jedem a\in A eine Umgebung U\subset A gibt. A ist nicht abgeschlossen, da A keine seiner Randpunkte enthält. c) $\begin{eqnarray} Int(A)=\{(x,y)\|0<x<3, y>-5\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \bar A=\{(x,y)\|0\leq x\leq 3, y\geq -5\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta A=\{(x,y)\|x=0, y=-5\vee x=3, y=-5\}\subset \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ A ist nicht offen, da A alle Randpunkte enthält. A ist also abgeschlossen. A ist nicht beschränkt, da y nicht nach oben beschränkt ist(?). d) $\begin{eqnarray} Int(A)=\emptyset \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \bar A=A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \delta A=\{(x,y)\|x=0 \vee y=0\} \end{eqnarray}$ A ist abgeschlossen, da alle Randpunkte enthalten sind. A ist also nicht offen. Es handelt sich doch hierbei um die x und y Achse und die sind meiner Meinung nach nicht beschränkt.. Danke für eure Hilfe und Tips
10.02.2018, 18:02	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei c) hast du den Rand falsch angegeben. Er besteht nicht nur aus 2 Punkten sondern aus einer Strecke und 2 Halbgeraden. In einem derartigen Fall ist es besser, die Menge als Vereinigung von Teilmengen zu schreiben. Das gilt auch für den Rand von b), sonst kann es zu Missverständnissen kommen.
15.02.2018, 09:08	Jefferson1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, erstmal vielen Dank für die Antwort und Entschuldigung für die späte Rückmeldung. Bin mir überhaupt nicht sicher, aber ich habe mir folgendes überlegt. Wenn man sich das zeichnet, ist das ein Rechteck, das im positiven y-Bereich gegen unendlich strebt. Das heißt der Rand wäre der folgende: $\begin{eqnarray} \delta A = \{(x,y)\|x=3 \text{ mit } y\geq -5 \cup x=0 \text{ mit } y\geq -5 \cup y=-5 \text{ mit } 0\leq x \leq 3\} \end{eqnarray}$ Danke!

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