Integration einer Funktion über eine parametrisierte Kurve

11.02.2018, 12:00	Dhain	Auf diesen Beitrag antworten »
Integration einer Funktion über eine parametrisierte Kurve Hallo zusammen, Folgende Aufgabe ist gegeben und gelöst: Es soll ein Weg von (0,0) zu (1,1) entlang $\begin{eqnarray} (y-1)^2 + x^2=1 \end{eqnarray}$ (im ersten quadranten) und zurück über (0,1) zu (0,0) parallel zu den Achsen gezeichnet werden. Eine geeignete Parametrisierung $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ der Teilstücke soll erfolgen. Danch soll die Funktion f=x+y entlang $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ integriert werden. $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ setzt sich dann wie folgt zusammen: $\begin{eqnarray} \gamma 1: [\frac{3}{2} \pi,2\pi]; (cos(t),sin(t)+1)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma 2:[0,1]; (1-t,1)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma 3:[0,1]; (0,1-t)^T \end{eqnarray}$ Das Ergebniss lautet: $\begin{eqnarray} 2+\frac{\pi}{2} \end{eqnarray}$ Nun möchte ich folgendes Problem lösen: Der Weg von (-1,2) nach (0,1) über $\begin{eqnarray} (y-2)^2 + x^2=1 \end{eqnarray}$ (im dritten quadranten) und zurück über (0,2) nach (-1,2) parallel zu den Achsen. Dies soll über die Funktion $\begin{eqnarray} f=x+y \end{eqnarray}$ längs $\begin{eqnarray} \gamma \end{eqnarray}$ integriert werden. Meine Parametrisierung sieht wie folgt aus: $\begin{eqnarray} \gamma 1: [0,1]; (0,1+t)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma 2: [0,1]; (-t,2)^T \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \gamma 3: [\pi,\frac{3}{2} \pi]; (cos(t),sin(t)+2)^T \end{eqnarray}$ Integration über die Teilstücke $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! t+1 \, dt = \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{0}^{1} \! -t+2 \, dt = \frac{3}{2} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \int_{\pi}^{3/2 \pi} \! cos(t) + sin(t) +2 \, dt = -2 + \pi \end{eqnarray}$ Woraus folgt: $\begin{eqnarray} 1+\pi \end{eqnarray}$ Ist dies Korrekt? Da ich der Meinung bin das eigentlich $\begin{eqnarray} 2+\pi/2 \end{eqnarray}$ rauskommen sollte, weil der Weg nahezu gleich ist. Vielen Dank für die Hilfe im voraus!
12.02.2018, 18:15	Dhain	Auf diesen Beitrag antworten »
Hat sich erledigt.

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