Definitionsbereich einer verketteten Funktion

11.02.2018, 20:55

Philipp2706

Definitionsbereich einer verketteten Funktion

Hallo zusammen, smile

ich tue mich heute unglaublich schwer folgende Definition zu verstehen:
Das wird jetzt etwas länger und ich habe viele Fragen Big Laugh

$\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_{h1} = \mathbb{D}_{f} \ \cap \left \{ x | f(x) \in \mathbb{D}_{g} \right \} \end{eqnarray*}$

Das Prinzip warum man den "neuen" Definitionsbereich einschränken muss verstehe ich, aber die Art wie wir das berechnen leider noch nicht so ganz.

Das ist die Beispielaufgabe:

$\begin{eqnarray*} .\\ g(x)= \frac{1+x}{1-x} , \ \ \ \ \mathbb{D}_{g} = \mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \} ; \\ \\ \\ f(x)= \frac{1}{1+x} , \ \ \ \ \mathbb{D}_{f} = \mathbb{R} \setminus \left \{ -1 \right \} ; \end{eqnarray*}$

Folgenden Teil der Formel: $\begin{eqnarray*} \left \{ x \ | \ f(x) \in \mathbb{D}_{g} \right \} \end{eqnarray*}$ haben wir berechnet indem wir $\begin{eqnarray*} f_{x} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_{g} \end{eqnarray*}$ gleichgesetzt haben. Da habe ich dann x=0 rausbekommen.

Dieser Teil besagt auch das wie ich es verstanden habe. Also das der Wertebereich der verketten Funktion genau gleich oder eine Teilmenge des Definitionsbereichs der äußeren Funktion sein muss.

Aber wieso muss ich nach der Formel von oben hier nocheinmal den Durchschnitt mit dem Definitionsbereich der inneren Funktion bilden?

Die Berechnung hier verstehe ich auch nicht. Wieso muss oder kann man die beiden Mengen gleichsetzen.
Ich weiß nicht wieso man von $\begin{eqnarray*} \left \{f(x) \in \mathbb{D}_{g} \right \} \end{eqnarray*}$ anscheinend auf $\begin{eqnarray*} f(x) = \mathbb{D}_{g} \end{eqnarray*}$ kommt.

Mann kommt jetzt also nach der Formel oben zu
$\begin{eqnarray*} = (\mathbb{R} \setminus \left \{ -1 \right \}) \ \ \cap \ \ (\mathbb{R} \setminus \left \{ 0 \right \}) = \mathbb{R} \setminus \left \{ -1,0 \right \} \end{eqnarray*}$

Ich glaube jetzt muss man jetzt noch zusätzlich kontrollieren ob -1 und 0 tatsächlich ein Problem machen indem man die verkettete Funktion löst.

Die Lösung der verketteten Funktion ist $\begin{eqnarray*} (g \circ f)(x) = 1+\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

Weil -1 hier keine Probleme macht ist $\begin{eqnarray*} 1+\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ eine Fortsetzung der Verkettung richtig?

Die zweite Beispielaufgabe ist die Verkettung der Funktionen von oben umgedreht, also f nach g.
Hier haben wir wieder die innere Funktion mit dem Wertebereich der äußeren Funktion gleichgesetzt.
Hier habe ich allerdings keine Lösung rausbekommen, sondern $\begin{eqnarray*} x+1 = x-1 \end{eqnarray*}$ , darauf wurde geschlossen dass aus $\begin{eqnarray*} \left \{ x \ | \ g(x) \in \mathbb{D}_{f} \right \} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wurde.

also $\begin{eqnarray*} = (\mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \}) \ \ \cap \ \ \mathbb{R} = \mathbb{R} \setminus \left \{ 1 \right \} \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht ganz wieso man darauf kommt, beziehungsweise was der Sinn dahinter ist.

Ich würde mich freuen wenn ihr mir weiterhelfen könntet. traurig

Schönen Sonntag

12.02.2018, 10:06

HAL 9000

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Zitat:

Original von Philipp2706
Aber wieso muss ich nach der Formel von oben hier noch einmal den Durchschnitt mit dem Definitionsbereich der inneren Funktion bilden?

Muss man genau genommen nicht, wenn man $\begin{eqnarray*} \left\{ x:\; f(x)\in \mathbf{D}_g \right\} \end{eqnarray*}$ rechnet, denn da kommen sowieso nur $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ in Frage, die in $\begin{eqnarray*} \mathbf{D}_f \end{eqnarray*}$ liegen. Aber es schadet auch nicht, wenn man diesen Durchschnitt bildet, denn bei einer rein formalen Rechnung wie

$\begin{eqnarray*} g(f(x)) = \frac{1+\frac{1}{1+x}}{1-\frac{1}{1+x}} = \frac{x+2}{x} = 1+\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$

vergisst man eben gern mal, dass man ursprünglich mit $\begin{eqnarray*} x\neq -1 \end{eqnarray*}$ ins Rennen gegangen ist...

Zitat:

Original von Philipp2706
Ich weiß nicht wieso man von $\begin{eqnarray*} \left \{f(x) \in \mathbb{D}_{g} \right \} \end{eqnarray*}$ anscheinend auf $\begin{eqnarray*} f(x) = \mathbb{D}_{g} \end{eqnarray*}$ kommt.

Das ist Unsinn, wieso soll ein einzelner Funktionswert gleich der Definitionsmenge der anderen Funktion sein. unglücklich

Zitat:

Original von Philipp2706
Mann kommt jetzt also nach der Formel oben zu
$\begin{eqnarray*} = (\mathbb{R} \setminus \left \{ -1 \right \}) \ \ \cap \ \ (\mathbb{R} \setminus \left \{ 0 \right \}) = \mathbb{R} \setminus \left \{ -1,0 \right \} \end{eqnarray*}$

Das ist der korrekte Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} g \circ f \end{eqnarray*}$ ja. Es sei nochmal betont, dass -1 nicht zu diesem Definitionsbereich gehört, dabei spielt keine Rolle, dass diese Stelle zum Definitionsbereich des Terms $\begin{eqnarray*} 1+\frac{2}{x} \end{eqnarray*}$ gehört!

Zitat:

Original von Philipp2706
Die zweite Beispielaufgabe ist die Verkettung der Funktionen von oben umgedreht, also f nach g.
Hier haben wir wieder die innere Funktion mit dem Wertebereich der äußeren Funktion gleichgesetzt.
Hier habe ich allerdings keine Lösung rausbekommen, sondern $\begin{eqnarray*} x+1 = x-1 \end{eqnarray*}$ , darauf wurde geschlossen dass aus $\begin{eqnarray*} \left \{ x \ | \ g(x) \in \mathbb{D}_{f} \right \} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ wurde.

Gemeint ist, dass es keinen Funktionswert $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ gibt, der nicht zum Definitionsbereich von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gehört. $\begin{eqnarray*} \left\{ x \mid g(x) \in \mathbb{D}_{f} \right\} = \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ ist dennoch falsch, da ja nicht alle reellen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ auch Funktionswerte $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ liefern, es muss

$\begin{eqnarray*} \left\{ x \mid g(x) \in \mathbb{D}_{f} \right\} = \mathbb{D}_g = \mathbb{R}\setminus\{1\} \end{eqnarray*}$

lauten, die eigentliche Durchschnittsbildung mit $\begin{eqnarray*} \mathbb{D}_g \end{eqnarray*}$ ist (wie oben im umgekehrten Fall schon erwähnt) an sich überflüssig, ist nur noch mal eine Absicherung, damit man bei einem Term wie $\begin{eqnarray*} f(g(x)) = \frac{1-x}{2} \end{eqnarray*}$ nicht auf falsche Gedanken kommt.

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