Polarkoordinaten Funktionaldeterminante

12.02.2018, 16:15	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Polarkoordinaten Funktionaldeterminante Hallo Zusammen, wenn man ein Integral von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten transformiert, wird der Faktor $\begin{eqnarray} dxdy \end{eqnarray}$ durch $\begin{eqnarray} r\cdot drd \phi \end{eqnarray}$ ersetzt. Ich weiß, dass das $\begin{eqnarray} r \end{eqnarray}$ , was dazu kommt die Determinante der Jacobi-Matrix $\begin{eqnarray} \frac{\partial (x,y)}{\partial (r, \phi)} \end{eqnarray}$ ist. Kann mir Jemand erklären, was die Jacobi-Matrix mit der ganzen Sache zu tun hat, und speziell die Determinante der Jacobi-Matrix? Vielen Dank im Voraus!
12.02.2018, 17:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Jede einigermaßen glatte Transformation kann man lokal (!) als lineare Transformation $\begin{eqnarray} A\cdot x \end{eqnarray}$ mit der Jacobi-Matrix $\begin{eqnarray} A \end{eqnarray}$ auffassen, das entsprechende Flächen-/Volumenelement wird entsprechend gestreckt/gestaucht/verzerrt. Die zur Jacobi-Matrix gehörende Jacobi-Determinante ist dann der Faktor, um den sich der Flächeninhalt/Volumen durch diese Streckung/Stauchung/Verzerrung ändert. Das was lokal in dieser Art und Weise geschieht, kann man dann auch über größere Bereiche berechnen, hat dann aber von Ort zu Ort andere Verhältnisse, deswegen muss die i.a. örtlich veränderliche Jacobi-Determinante mit im Integrand stehen. So die einigermaßen saloppe und heuristisch angehauchte "Erklärung" des Transformationssatzes. Studiere also, was bei linearen Transformationen mit Flächeninhalt/Volumen geschieht, dann verstehst du es auch hier im nichtlinearen Fall durch die genannte "lokale" Linearisierung.
12.02.2018, 17:08	cmplx96	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, dankeschön

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