Differentialgleichung

13.02.2018, 12:23	LIMESWARRIOR3000	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung Meine Frage: Hallo Zusammen, ich habe folgende Aufgabe gegeben: y'(x)-2xy(x)=0 Bestimmen Sie mit Hilfe einer Seperation der Variablen die Lösung der Differentialgleichung. Meine Ideen: $\begin{eqnarray} y'= 2xy(x)=\frac{dy}{dx}=2xy(x)<br /> <br /> \Rightarrow \frac{dy}{y}=2xdx = \frac{1}{y}dy=2xdx<br /> \Rightarrow \int_{}^{} \! \frac{1}{y} \, dy = \int_{}^{} \! 2x \, dx = ln(y)=x^{2}+c <br /> = y=e^{x^{2}+c } \end{eqnarray}$ Passt das so oder kompletter Unsinn? Danke im Voraus.
13.02.2018, 12:32	mYthos	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Ergebnis ist noch ein bisschen zu verschönern, denn das c im Exponenten ist ja $\begin{eqnarray} e^c \end{eqnarray}$ und das kannst du als $\begin{eqnarray} c_1 \end{eqnarray}$ schreiben: $\begin{eqnarray} y(x) = c_1e^{x^2} \end{eqnarray}$ mY+
13.02.2018, 13:46	LIMESWARRIOR3000	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke. Steht auch so in der Definition. Habe es irgendwie nicht gesehen.
13.02.2018, 13:54	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Eine kleine Feinheit wäre noch anzumerken, die dir noch öfter in ähnlicher Form bei solchen DGL-Lösungen begegnen wird: Unmittelbar nach der Integration ergibt sich zunächst $\begin{eqnarray} \ln\|y\| = x^2+c \end{eqnarray}$ und damit $\begin{eqnarray} y = \pm e^{x^2+c} \end{eqnarray}$ . Das ist dann auch der Grund, warum in der vereinfachten Darstellung $\begin{eqnarray} y = c_1 e^{x^2} \end{eqnarray}$ der Parameter $\begin{eqnarray} c_1 \end{eqnarray}$ auch negative Werte annehmen darf.

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