Integrationskonstanten bei diskreter Differentialgleichung 1. Ordnung

13.02.2018, 18:56

pimpl

Integrationskonstanten bei diskreter Differentialgleichung 1. Ordnung

Guten Tag,

ich habe zwei (allgemeine) Verständnisfragen bezüglich der Diskretisierung von Differentialgleichungen und insbesondere bezüglich der notwendigen Integrationskonstanten. Eigentlich für Euch wahrscheinlich halb so wild, aber ich brauche dennoch Hilfe.
Fangen wir an:

Gegeben sei die inhomogene DGL 1. Ordnung mit zeitvariablen Koeffizienten a, b:

$\begin{eqnarray*} \frac{dx(t)}{dt} = a(t)\cdot x(t)+b(t) \end{eqnarray*}$

Die Lösung kann man in zwei Schritten finden, wenn man zunächst $\begin{eqnarray*} b=0 \end{eqnarray*}$ voraussetzt und $\begin{eqnarray*} x(t)= k\cdot e^{\lambda \cdot t} \end{eqnarray*}$ formuliert. Über einen Koeffizientenvergleich erhält man nach Ableitung des Ansatzes die homogene Lösung mit der Integrationskonstanten $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} x_{h}(t) = k\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t} \! a(t) \, dt} \end{eqnarray*}$

Für den partikulären Teil der Lösung setzt man nun $\begin{eqnarray*} x(t)= k(t)\cdot e^{a \cdot t} \end{eqnarray*}$ an ("Variation der Konstanten" $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ), differenziert diesen Ansatz, formt nach der "Konstanten" $\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ um und Integriert anschließend. (hier über das Intervall $\begin{eqnarray*} \left[t_{0},t\right] \end{eqnarray*}$ ). Nach Einsetzen und etwas Umformung erhält man die partikuläre Lösung
$\begin{eqnarray*} x_{p}(t) = e^{\int_{t_{0}}^{t} \! a(t) \, dt} \cdot \int_{t_{0}}^{t} \! b(t)\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t} \! -a(t) \, dt} \, dt \end{eqnarray*}$ .

Die (Gesamt-)Lösung ist nun die Summe beider Teile, wobei $\begin{eqnarray*} k(t_{0}) \end{eqnarray*}$ die Integrationskonstante ist:
$\begin{eqnarray*} x(t) = x_{h}(t) + x_{p}(t) = k(t_{0})\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t} \! a(t) \, dt} + e^{\int_{t_{0}}^{t} \! a(t) \, dt} \cdot \int_{t_{0}}^{t} \! b(t)\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t} \! -a(t) \, dt} \, dt \end{eqnarray*}$

Frage 1:
Wie genau berechnet man jetzt die Integrationskonstate? Sie folgt doch aus der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} x(t_{0}) \end{eqnarray*}$ , also muss für den Anfangszustand folgendes gelten:

$\begin{eqnarray*} k(t_{0})\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t_{0}} \! a(t) \, dt} + e^{\int_{t_{0}}^{t_{0}} \! a(t) \, dt} \cdot \int_{t_{0}}^{t_{0}} \! b(t)\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t_{0}} \! -a(t) \, dt} \, dt = x(t_{0}) \end{eqnarray*}$ .

Nun wende ich stur meine allgemeine Lösung an und "integriere" im Intervall $\begin{eqnarray*} \left[t_{0},t_{0}\right] \end{eqnarray*}$ , wobei das Integral natürlich null ist, jedoch muss ich für jedes(???) Integral auch eine Integrationskonstante $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ berücksichtigen:
$\begin{eqnarray*} \int_{t_{0}}^{t_{0}} \! f(x) \, dx \equiv 0 + C \end{eqnarray*}$
(Bitte um Korrektur, falls ich mich irre!)

Folglich gilt:
$\begin{eqnarray*} k(t_{0})\cdot e^{0+C} + e^{0+C} \cdot 0 = k(t_{0})\cdot 1 = x(t_{0}) \end{eqnarray*}$ ?? Aber nun habe ich zwei Integrationskonstanten, nämlich $\begin{eqnarray*} k(t_{0}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} C \end{eqnarray*}$ . Ist es nun zulässig diese einfach zu einer neuen Integrationskonstante $\begin{eqnarray*} \gamma = k(t_{0})\cdot e^{C} \end{eqnarray*}$ zusammenzufassen, sodass die Integrationskonstante letztlich dem Ausgangszustand $\begin{eqnarray*} \gamma = x(t_{0}) \end{eqnarray*}$ entspricht?

Frage 2:
Nehmen wir nun die Verarbeitung dieser DGL in einem digitalen Rechner an, beispielsweise in Form einer Regelungsaufgabe, mit gegebenem (gemessenem) Anfangszustand $\begin{eqnarray*} x_{0} \end{eqnarray*}$ und einer (konstanten) Samplingzeit $\begin{eqnarray*} t_{s} \end{eqnarray*}$ . Gilt nun für jeden Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_{k} = k \cdot t_{s} \end{eqnarray*}$ (Konvention: $\begin{eqnarray*} \left(...\right)_{k} = \left(...\right)(t_{k}) \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} x_{k} = C_{k}\cdot e^{\int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! a(t) \, dt} + e^{\int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! a(t) \, dt} \cdot \int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! b(t)\cdot e^{\int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! -a(t) \, dt} \, dt = C_{k}\cdot e^{a_{k} - a_{k-1} + C_{a1}} + e^{a_{k} - a_{k-1} + C_{a2}} \cdot \int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! b(t)\cdot e^{a_{k} - a_{k-1} + C_{a3}} \, dt \end{eqnarray*}$ ?

Frage 2.1:
Das heißt, erhalte ich/muss ich neben $\begin{eqnarray*} C_{k} \end{eqnarray*}$ jeweils auch die drei Konstanten $\begin{eqnarray*} C_{a1},C_{a2},C_{a3} \end{eqnarray*}$ berücksichtigen?

Frage 2.2:
Kann ich nun im rechten Integral den Term $\begin{eqnarray*} e^{a_{k} - a_{k-1} + C_{a3}} \end{eqnarray*}$ herausziehen, da dieser eine Konstante darstellt? Gilt dann:
$\begin{eqnarray*} \int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! b(t)\cdot e^{a_{k} - a_{k-1} + C_{a3}} \, dt = e^{a_{k} - a_{k-1} + C_{a3}} \cdot \int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! b(t)\ \, dt = e^{a_{k} - a_{k-1} + C_{a3}} \cdot (b_{k} - b_{k-1} + C_{b1}) \end{eqnarray*}$

Frage 2.3:
Wie kann ich nun mit einer Gleichung die vier Integrationskonstanten $\begin{eqnarray*} C_{k},C_{a1},C_{a2},C_{a3},C_{b1} \end{eqnarray*}$ bestimmen?
Ansatz (wie oben):

$\begin{eqnarray*} C_{k}\cdot e^{0+C_{a1}} + e^{0+C_{a2}}\cdot(0+C_{b1}) = C_{k}\cdot e^{C_{a1}} + e^{C_{a2}}\cdot(C_{b1}) = x_{k-1} \end{eqnarray*}$

Kann ich nun alle Konstanten zu einer einzigen Konstanten $\begin{eqnarray*} C_{k}\cdot e^{C_{a1}} + e^{C_{a2}}\cdot(C_{b1}) = \gamma = x_{k-1} \end{eqnarray*}$ zusammenfassen, sodass ich für die diskrete Gleichung folgende Formulierung erhalte:

$\begin{eqnarray*} x_{k} = x_{k-1}\cdot e^{a_{k} - a_{k-1} } + e^{a_{k} - a_{k-1} } \cdot \int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! b(t)\cdot e^{a_{k} - a_{k-1} } \, dt \end{eqnarray*}$ ?

Habe ich irgendwo eine Denkfehler gemacht?

Herzlichen Dank für eure Hilfe!

13.02.2018, 19:17

HAL 9000

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Eine "frei wählbare" Integrationskonstante im Ergebnis eines bestimmten Integrals ist Unsinn. Selbstverständlich ist $\begin{eqnarray*} \int\limits_{t_0}^{t_0} f(x) ~ \dd x = 0 \end{eqnarray*}$ , das sollte bei diesem Integrationsintervall der Länge 0 doch klar sein! Es folgt demnach sofort $\begin{eqnarray*} x(t_0)=k(t_0) \end{eqnarray*}$ .

Auch die anderen Fragen klingen ganz danach, als wäre dir der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung - eine wesentliche Grundlage der Analysis - vollkommen unbekannt. geschockt

Und überhaupt ist es eine hässliche Unart, Integrationsvariablen mit genau demselben Symbol wie eine "äußere" Variable zu benennen. Klarer und unmissverständlicher wäre daher die Darstellung

$\begin{eqnarray*} x(t) = x_h(t) + x_{p}(t) = \left[ x(t_0) + \int\limits_{t_0}^{t} b(\tau)\cdot e^{-A(\tau)} ~ \dd\tau \right] \cdot e^{A(t)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A(t) := \int\limits_{t_0}^t a(\tau) ~ \dd\tau \end{eqnarray*}$ .

15.02.2018, 17:11

pimpl

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Schussel!!! Hammer

Oh mann... Ja klar, Integrationskonstanten muss man nur bei unbestimmten Integralen beachten! Bei bestimmten Integralen würden sich Integratinskonstanten als Summanden ohnehin aufheben:
$\begin{eqnarray*} \int_{t_{0}}^{t} \! f(\tau ) \, d\tau = \left[F(\tau ) + C \right]_{t_{0}}^{t} = F(t)+C - F(t_{0})-C \end{eqnarray*}$
(man beachte die souveräne Umbenennung der Integratinsvariablen)

Eben für solche Anmerkungen schätze ich dieses Forum, denn manchmal übersieht man schlicht Offensichtliches. Vielen Dank für den Hinweis.
Aber wie sieht es denn aus, wenn ich ein unbestimmtes Integral habe? Gelten dann die bereits gemachten Überlegungen oder liege ich wieder daneben? Muss ich also je (unbestimmtes) Integral eine Integrationskonstante berücksichtigen?
$\begin{eqnarray*} x(t) = C_{1}\cdot e^{A(t)+C_{2}} + e^{A(t)+C_{3}}\cdot \int \! b(\tau)\cdot e^{A(\tau)+C_{4}} \, d\tau = C_{1}\cdot e^{A(t)+C_{2}} + e^{A(t)+C_{3}}\cdot(B(t)+C_{5}) \end{eqnarray*}$
(mit $\begin{eqnarray*} B(t) = \int \! b(\tau)\cdot e^{A(\tau)+C_{4}} \, d\tau \end{eqnarray*}$ )

Falls das richtig ist, kann ich einfach alle Konstanten zusammenfassen? Bitte um die Korrekte Lösung!

Korrekturen:

Zitat:

Original von pimpl
Die (Gesamt-)Lösung ist nun die Summe beider Teile, wobei $\begin{eqnarray*} k(t_{0}) \end{eqnarray*}$ die Integrationskonstante ist:
$\begin{eqnarray*} x(t) = x_{h}(t) + x_{p}(t) = k(t_{0})\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t} \! a(t) \, dt} + e^{\int_{t_{0}}^{t} \! a(t) \, dt} \cdot \int_{t_{0}}^{t} \! b(t)\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t} \! -a(t) \, dt} \, dt \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} k \end{eqnarray*}$ ist natürlich keine Integrationskonstante!

Zu Frage 1:
Aus der Anfangsbedingung $\begin{eqnarray*} x(t_{0}) \end{eqnarray*}$ ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} k(t_{0})\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t_{0}} \! a(\tau) \, d\tau} + e^{\int_{t_{0}}^{t_{0}} \! a(\tau) \, d\tau} \cdot \int_{t_{0}}^{t_{0}} \! b(\tau)\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t_{0}} \! -a(\tau) \, d\tau} \, d\tau = k(t_{0})\cdot e^{0} + e^{0} \cdot 0 \Rightarrow k(t_{0}) = x(t_{0}) \end{eqnarray*}$

Zu Frage 2:
Bei der Verarbeitung dieser DGL in einem digitalen Rechner wird eine (konstante) Samplingzeit $\begin{eqnarray*} t_{s} \end{eqnarray*}$ angenopmmen mit der Konvention $\begin{eqnarray*} \left(...\right)_{k} = \left(...\right)(t_{k}) \end{eqnarray*}$ . (Also gilt: $\begin{eqnarray*} t_{k} = k \cdot t_{s} \end{eqnarray*}$ )

$\begin{eqnarray*} \Rightarrow x_{k} = k_{k}\cdot e^{\int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! a(\tau) \, d\tau} + e^{\int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! a(\tau) \, d\tau} \cdot \int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! b(\tau)\cdot e^{\int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! -a(\tau) \, d\tau} \, d\tau \end{eqnarray*}$

Für $\begin{eqnarray*} k_{k} \end{eqnarray*}$ gilt wie oben:
$\begin{eqnarray*} k_{k}\cdot e^{\int_{t_{k-1}}^{t_{k-1}} \! a(\tau) \, d\tau} + e^{\int_{t_{k-1}}^{t_{k-1}} \! a(\tau) \, d\tau} \cdot \int_{t_{k-1}}^{t_{k-1}} \! b(\tau)\cdot e^{\int_{t_{k-1}}^{t_{k-1}} \! -a(\tau) \, d\tau} \, d\tau = k_{k}\cdot e^{0} + e^{0} \cdot 0 = x_{k-1} \end{eqnarray*}$

Verbliebene Frage 1:
Kann ich eigentlich bei der partikulären Lösung den Term $\begin{eqnarray*} e^{a_{k} - a_{k-1}} \end{eqnarray*}$ aus dem Integral herausziehen, da dieser in dem betrachteten Zeitintervall $\begin{eqnarray*} \left[t_{k-1},t_{k} \right] \end{eqnarray*}$ eine Konstante darstellt? Gilt dann:

$\begin{eqnarray*} x_{k} = x_{k-1}\cdot e^{a_{k} - a_{k-1}} + e^{a_{k} - a_{k-1}} \cdot \int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! b(\tau)\cdot e^{a_{k} - a_{k-1}} \, d\tau = x_{k-1}\cdot e^{a_{k} - a_{k-1}} + e^{a_{k} - a_{k-1}} \cdot \int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! b(\tau) \, d\tau = x_{k-1}\cdot e^{a_{k} - a_{k-1}} + e^{2\cdot(a_{k} - a_{k-1})} \cdot (b_{k} - b_{k-1}) \end{eqnarray*}$

Habe ich irgendwo eine Denkfehler gemacht?
Herzlichen Dank für eure Hilfe!

15.02.2018, 17:46

HAL 9000

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Ich verstehe deine Diskretisierung nicht, es sieht aber für mich so aus, als hast du dir mit eben jenem

Zitat:

Original von HAL 9000
Und überhaupt ist es eine hässliche Unart, Integrationsvariablen mit genau demselben Symbol wie eine "äußere" Variable zu benennen.

tatsächlich selbst ein Bein gestellt. Es gilt nämlich (siehe obige Darstellung) beim Übergang von $\begin{eqnarray*} t_{k-1} \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} t_k \end{eqnarray*}$ und entsprechend von $\begin{eqnarray*} x(t_{k-1})=x_{k-1} \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} x(t_k)=x_k \end{eqnarray*}$ folgendes:

$\begin{eqnarray*} x_k = \left[ x_{k-1} + \int\limits_{t_{k-1}}^{t_k} b(\tau)\cdot e^{-A_k(\tau)} ~ \dd\tau \right] \cdot e^{A_k(t_k)} \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} A_k(\tau) := \int\limits_{t_{k-1}}^{\tau} a(\xi) ~ \dd\xi \end{eqnarray*}$ .

Du scheinst nun aber fälschlicherweise stets mit

$\begin{eqnarray*} x_k \stackrel{?}{=} \left[ x_{k-1} + \int\limits_{t_{k-1}}^{t_k} b(\tau)\cdot e^{-A_k({\color{red}t_k})} ~ \dd\tau \right] \cdot e^{A_k(t_k)} \end{eqnarray*}$

rechnen zu wollen - das halte ich für inkorrekt, eine systematische Verzerrung.

EDIT: Außerdem ist noch ein Vorzeichenfehler im Argument der Exponentialfunktion im Integranden. Es sollte wohl besser (im Rahmen deiner falschen Herangehensweise wohlgemerkt) dort $\begin{eqnarray*} e^{a_{k-1}-a_k} \end{eqnarray*}$ heißen.

19.02.2018, 17:20

pimpl

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RE: Integrationskonstanten bei diskreter Differentialgleichung 1. Ordnung
Erstmal, vielen herzlichen Dank HAL 9000! Ich denke die Unklarheit ist somit beseitigt, ich bitte dich aber nochmals um einen kurzen Gegencheck.
Mein Fehler bestand darin, dass ich die obere Integrationsgrenze in der partikulären Lösung falsch gesetzt habe. (rot markiert)

Ausgangslage:
$\begin{eqnarray*} x(t) = x(t_{0})\cdot e^{\int_{t_{0}}^{t} \! a(\tau) \, d\tau} + e^{\int_{t_{0}}^{t} \! a(\tau) \, d\tau} \cdot \int_{t_{0}}^{t} \! b(\tau)\cdot e^{\int_{t_{0}}^{{\color{red}\tau}} \! -a(\tau) \, d\tau} \, d\tau \end{eqnarray*}$

Konvention:
Konstantes Sampling: $\begin{eqnarray*} t_{s} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \left(...\right)_{k} = \left(...\right)(t_{k}) \Rightarrow t_{k} = k \cdot t_{s} \Rightarrow A_{k}({\color{red}\gamma}) = \int_{t_{k-1}}^{{\color{red}\gamma}} \! a(\tau) \, d\tau \end{eqnarray*}$

Folglich gilt für den Zeitpunkt $\begin{eqnarray*} t_{k} \end{eqnarray*}$ die Beziehung:
$\begin{eqnarray*} x_{k} = {\color{blue}e^{A_{k}(t_{k})}} \cdot \left[ x_{k-1} + \int_{t_{k-1}}^{t_{k}} \! b(\tau)\cdot {\color{red}e^{-A_{k}(\tau)}} \, d\tau \right] \end{eqnarray*}$

Jetzt wird deutlich, dass einerseits der Exponent $\begin{eqnarray*} {\color{blue} A_{k}(t_{k})} \end{eqnarray*}$ eine Konstante ist, andererseits $\begin{eqnarray*} {\color{red}-A_{k}(\tau)} \end{eqnarray*}$ die Integrationsvariable $\begin{eqnarray*} \tau \end{eqnarray*}$ enthält, sodass $\begin{eqnarray*} {\color{red}e^{-A_{k}(\tau)}} \end{eqnarray*}$ nicht aus dem Integral gezogen werden kann.

Bitte um kurze Stellung zu der Frage:

Zitat:

Original von pimpl
Muss ich also je (unbestimmtes) Integral eine Integrationskonstante berücksichtigen?
$\begin{eqnarray*} x(t) = C_{1}\cdot e^{A(t)+C_{2}} + e^{A(t)+C_{3}}\cdot \int \! b(\tau)\cdot e^{A(\tau)+C_{4}} \, d\tau = C_{1}\cdot e^{A(t)+C_{2}} + e^{A(t)+C_{3}}\cdot(B(t)+C_{5}) \end{eqnarray*}$
(mit $\begin{eqnarray*} B(t) = \int \! b(\tau)\cdot e^{A(\tau)+C_{4}} \, d\tau \end{eqnarray*}$ )

Falls das richtig ist, kann ich einfach alle Konstanten zusammenfassen? Bitte um die Korrekte Lösung!

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