Multiplikation oder Addition zweier Funktionen für Approximation von Datenreihen durch Funktion

14.02.2018, 09:18

Lucas4321

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Multiplikation oder Addition zweier Funktionen für Approximation von Datenreihen durch Funktion

Meine Frage:
Hallo Zusammen

Ich habe Datenreihen (D) die von insgesamt drei Variablen (x,y,z) abhängig sind für den gleichen Wertebereich. Für den Fall, dass die eine Variable (z) 0 ist habe ich die Datenreihen im Excel in einem Diagramm dargestellt (D=f(x),D=f(y)). Nun habe ich in beiden Diagrammen eine Trendlinie eingefügt und gesehen, dass D=f(x) einen logarithmischen Trend (a*ln(x)+b) hat und D=F(y) eine Potenz (c*y^d). Nun möchte ich beide Funktionen verknüpfen um eine Funktion (u(x,y)) zu erhalten, welche von x und y abhängig ist. Für die Approximation jener Datenreihen durch u(x,y) müsste ich die Funktionen a*ln(x)+b und c*y^d kombinieren. Muss ich sie dazu miteiner multiplizieren oder addieren, was macht mehr Sinn?

Danke im voraus für eure Hilfe.

Meine Ideen:
u=(a*ln(x)+b)+(c*y^d)
oder
u=(a*ln(x)+b)*(c*y^d)

14.02.2018, 09:38

Steffen Bühler

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RE: Multiplikation oder Addition zweier Funktionen für Approximation von Datenreihen durch Funktion
Das kommt natürlich drauf an [tm]!

Wenn die eine Funktion die Gehaltsentwicklung von Dir über der Zeit ist und die andere die von mir, ist es natürlich klar, dass man addieren muss, um die Entwicklung unseres Gesamtgehaltes zu bekommen.

Ist aber die eine Funktion die zeitliche Preisentwicklung von Gummibärchen in Euro und die andere der Dollarkurs, so wirst Du multiplizieren müssen, um den Dollarpreis von Gummibärchen zeitlich verfolgen zu können.

Wenn Du uns also verrätst, was die beiden Funktionen bedeuten, können wir drüber nachdenken.

Viele Grüße
Steffen

14.02.2018, 09:43

HAL 9000

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Zum zweiten Ansatz $\begin{eqnarray*} u=(a\cdot\ln(x)+b)\cdot (c\cdot y^d) \end{eqnarray*}$ ist zudem anzumerken, dass er überbestimmt ist, und über Reparametrisierung $\begin{eqnarray*} a'=a\cdot c \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b'=b\cdot c \end{eqnarray*}$ völlig äquivalent zu dem Ansatz $\begin{eqnarray*} u=(a'\cdot\ln(x)+b')\cdot y^d \end{eqnarray*}$ (mit einem Parameter weniger!) ist.

14.02.2018, 09:59

lucas54321

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Multiplikation oder Addition zweier Funktionen für Approximation von Datenreihen durch Funktion
Danke für die rasche Antwort Steffen und HAL 9000.

zu Hal 9000

Vielen Dank macht Sinn werde dies anpassen.

Zu Steffen:

Die Variabeln haben folgende Definition:

x = die installierte PV-Leistung kWp, Wertebereich: 0.1-10
y = der Jahresstromverbrauch kWh, Wertebereich: 2000-10'000
z = die Batteriekapazität kWh, Wertebereich: 0.1-10
D = Direktverbrauch der PV energie in kWh

Noch eine zusätzliche Frage:

Macht es Sinn mit der errechneten Funktion u(x,y) Werte zu berechnen für den Wertebereich abseits der Obengenannten z. B. x->(20-200) und y->(20'000-200'000)? Weil die Funktion ist ja nur über einen kleinen Wertebereich definiert, dementsprechend für mich( Wissen aus Studium) für grössere Bereiche nicht passend. Ergo bräuchte ich für denn erweiterten Bereich weitere Datenpunkte, leider habe ich nur 3 weitere z.B. x =56, y=135'000 -> D= 42'250

14.02.2018, 10:27

HAL 9000

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Zitat:

Original von lucas54321
Macht es Sinn mit der errechneten Funktion u(x,y) Werte zu berechnen für den Wertebereich abseits der Obengenannten

Dazu kann man zunächst mal die Binsenweisheit anbringen, dass man sich mit einer derartigen Extrapolation i.d.R. auf gefährliches Glatteis begibt:

Es muss schon sehr gute Gründe geben (z.B. physikalisch), die ein solches Vorgehen noch zweckmäßig macht. Und falls man bereits im untersuchten Bereich mit dem Ansatz einen signifikanten Anteil nicht erklären kann, dann ist die Extrapolation umso fragwürdiger.

14.02.2018, 11:01

Steffen Bühler

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Ich versuche das Ganze mal mathematisch zu modellieren:

[attach]46517[/attach]

Wir haben also eine Anlage mit einer Maximalleistung x. Dann haben wir eine durchschnittlich abgerufene Leistung y. Wenn also die Sonne aufgeht, bekommen wir an einem durchschnittlichen Tag erst einmal Leistung, die gleich verbraten wird, solange bis es zuviel ist. Die übrige Energie z, die wir dann erst mal nicht brauchen, wird in die Batterie gesteckt, bis die voll ist. Mehr holen wir aus der Anlage nicht raus.

Die rote Fläche ist dann D. Die untere Region würde ich schon mal als ungefähr proportional zu y ansetzen. Dann kommt der Batterieanteil dazu, der ist natürlich proportional zu deren Kapazität. Wenn die beliebig groß ist, kann man die obere Fläche auch ungefähr als proportional zum Abstand x-y setzen.

So würde ich anfangen und nichts mit Logarithmus oder Potenz versuchen.

Viele Grüße
Steffen

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14.02.2018, 11:28

lucas4321

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Das Problem ist die Werte für D sind jährliche Werte bei gegebener Leistung und Stromverbrauch und enthält keinen Zeitlicher Verlauf. Was ich gemacht habe, um die Teilfunktionen in Abhängigkeit der PV-Leistung oder des Stromverbrauches herauszufinden, war jeweils die eine Variable zu fixieren und die andere zu variieren z.b. D bei fixen Stromverbrauch 2000 kWh und variierender PV-leistung. Der Direktverbrauch ist nur der Teil der direkt verbraucht wird (also PV-Ertrag-Stromverbrauch) die Batterieladung ist separat. Für den Verlauf der Batterie habe ich x und y fixiert und die Batteriekapazität variiert.

Zusammenfassend was ich am Schluss haben möchte, ist eine Funktion u(x,y) mit der ich den Direktverbrauch und eine Funktion v(x,y,z) mit der ich die Batterieladung berechnen kann.

hoffe konnte so mein Problem genauer beschreiben

14.02.2018, 12:43

Steffen Bühler

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Ich habe ja wie gesagt einen durchschnittlichen Tag skizziert. Der entspricht bei Multiplikation mit 365 dann den jährlichen Werten. So aber kannst Du Dir herleiten, wie die einzelnen Variablen in Direktverbrauch bzw. Batterieladung einfließen.

Und entweder vereinfachst Du meine Sinushalbwelle noch in ein Dreieck, dann kannst Du Dir die einzelnen Flächenformeln schnell selber hinschreiben. Wir helfen natürlich gerne dabei. Oder Du lässt den Sinus so, dann musst Du Integrale lösen.

14.02.2018, 13:52

lucas4321

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Sry Steffen. sehr gerne würde ich eure Hilfe beanspruchen. Wie müsste ich vorgehen, wenn ich mich für die Methode mit den Integralen entscheiden würde (interessiert mich einfach mehr)?

Das Flächenintegral für die Sinuskurve lautet ja: $\begin{eqnarray*} \int_{t1}^{t2} \! sin(t) \, dt \end{eqnarray*}$

wie weiter?

das y ist ja konstant d.h. y=0*t+c

14.02.2018, 14:49

Steffen Bühler

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Prinzipiell würde ich hier erst einmal den linken Schnittpunkt über $\begin{eqnarray*} y=x \cdot \sin t \to t=\arcsin \frac yx \end{eqnarray*}$ bestimmen. Damit hast Du die Fläche bis zum Rechteck, das danach folgt. Aus Symmetriegründen ist das auch die Fläche, die sich danach anschließt.

Damit bekommst Du auch die Unterseite des Rechtecks, und dessen Höhe ist ja y.

14.02.2018, 16:08

lucas4321

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k dann wäre die Formel für die Gesamtfläche der beiden dreieckartigen Flächen bis und nach dem Rechteck:

$\begin{eqnarray*} \arcsin(\frac{y}{x} )*y \end{eqnarray*}$

Für das Rechteck brauche ich noch die Länge, welche ich Anhand der Differenz der beiden Schnittpunkte erhalte.

Wie erhalte ich diesen zweiten Punkt?

PS: Wo kommen jetzt die Integrale zum tragen?

14.02.2018, 16:24

Steffen Bühler

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Nicht so schnell. Nehmen wir mal x=2 und y=1:

Um die Fläche des ersten "Dreiecks" zu bekommen, brauchen wir den Schnittpunkt $\begin{eqnarray*} \arcsin(0,5) \approx 0,5236 \end{eqnarray*}$ . Und den setzen wir in die Integralformel ein: $\begin{eqnarray*} \int_0^{0,5236} 2 \sin t dt = [ - 2 \cos t]_0^{0,5236} \approx 0,268 \end{eqnarray*}$

Diese Fläche ist auch die des zweiten Dreiecks, das ja symmetrisch zum Hochpunkt der Halbwelle liegt. Und eben wegen dieser Symmetrie liegt der zweite Schnittpunkt genauso weit entfernt von $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ wie der erste von Null.

14.02.2018, 16:40

lucas4321

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k gut also wäre indem Sinn dann der Punkt 2: $\begin{eqnarray*} \pi -t1 \end{eqnarray*}$
und Somit die länge des Rechteckes: $\begin{eqnarray*} \pi -2*t1 \end{eqnarray*}$
und folglich die Fläche: $\begin{eqnarray*} \y*(pi -2*t1) \end{eqnarray*}$
die Gesamtfläche schliesslich: $\begin{eqnarray*} \\int_{0}^{t1} \! 2*sin(t) \, dt + y*(pi -2*t1) \end{eqnarray*}$

wie komme ich nun zu einer allgemeinen Form in Abhängigkeit von x und y ohne das t?

14.02.2018, 16:44

Steffen Bühler

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Die hatten wir doch schon oben: $\begin{eqnarray*} t=\arcsin \frac yx \end{eqnarray*}$

14.02.2018, 16:53

lucas4321

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k sry lautet nun die Allgemeine Form für die Fläche folgendermassen?

$\begin{eqnarray*} (\int_{0}^{arcsin(\frac{y}{x}) } \! \sin(t) \, dt ) + (y*(\pi -2*arcsin(\frac{y}{x}) ) \end{eqnarray*}$

14.02.2018, 16:57

Steffen Bühler

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Fast. Das Integral muss zweimal rein. Das kann man dann gleich mit der Stammfunktion hinschreiben und evtl. über $\begin{eqnarray*} \cos \left( \arcsin \frac yx \right)= \frac { \sqrt {x^2-y^2}}x \end{eqnarray*}$ vereinfachen.

14.02.2018, 17:30

lucas4321

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Entschuldige meinst du so?

$\begin{eqnarray*} 2*\frac{\sqrt{x^{2}+y^{2} } }{x} +y*(\pi -2*arcsin(\frac{y}{x} ) \end{eqnarray*}$

Wie würde es mit der Fläche der Batterie aussehen?

14.02.2018, 17:39

lucas4321

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sry natürlich - statt + beim ersten Therm

14.02.2018, 17:39

Steffen Bühler

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Das ist noch nicht ganz richtig. Ich hab angenommen, Du hast schon mit Integralen gearbeitet, weil Du im Hochschulbereich postest. Du musst die beiden Integralgrenzen jeweils in die Stammfunktion -xcost (die Höhe des Sinus ist ja x) einsetzen und diese Werte voneinander abziehen.

Die Batterie wird maximal mit der restlichen Fläche der Sinushalbwelle geladen. Diese Fläche ist ja schnell berechnet. Ist die Kapazität kleiner, eben nur bis dahin.

14.02.2018, 17:59

lucas4321

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Ja sry habe es vorher nicht ganz verstanden.

Also nächster Versuch:

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{arcsin(\frac{y}{x} } \! sin(t) \, dt+\int_{\pi -arcsin\frac{y}{x} }^{b} \! sin(t) \, dt+y*(\pi -2*arcsin(\frac{y}{x} )) \end{eqnarray*}$

dann:

-cos(arcsin(\frac{y}{x}))-1+cos(\pi -arcsin(\frac{y}{x} )+ y*(\pi -2*arcsin(\frac{y}{x} ))

Was die Batterie angeht kannst du mir bitte dies vllt genauer erklären? Komme bei der Grafik nicht ganz draus wo jetzt genau das x und z ist.

Für die Fläche wäre es ja das integral von sin von 0 bis pi abzüglich der Fläche unterhalb von y. Wie weiter?

14.02.2018, 18:05

lucas4321

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$\begin{eqnarray*} -cos(arcsin(\frac{y}{x}))-1+cos(\pi -arcsin(\frac{y}{x} )+ y*(\pi -2*arcsin(\frac{y}{x} )) \end{eqnarray*}$

14.02.2018, 18:23

Steffen Bühler

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Noch nicht ganz.

Die Sinushalbwelle geht bis x hoch, nicht bis 1. (Das ist übrigens eine zu diskutierende Annahme! Denn wir setzen damit voraus, dass im Durchschnitt mittags genau die Spitzenleistung x der Anlage erreicht wird. Im Sommer also genausoviel mehr wie im Winter weniger. Im Herbst und Frühling also mittags x. Das hängt aber von der Anlage ab, es gibt keine Information, ob die so ausgelegt ist. Das aber nur nebenbei, genauso wie die Halbwelle selber, die ja in Wirklichkeit eine eher kompliziertere Form hat als ein Sinus.)

Und wie gesagt, das Integral kannst Du einfach verdoppeln.

Somit:
$\begin{eqnarray*} 2 \cdot \int_{0}^{arcsin \left( \frac yx \right) } \! x \cdot \sin(t) \, dt + y \cdot \left( \pi -2 \arcsin \left( \frac yx \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 \cdot x \cdot [-\cos t]_{0}^{\arcsin \left( \frac yx \right) } + y \cdot \left( \pi -2 \arcsin \left( \frac yx \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 \cdot x \cdot \left( -\cos \left(\arcsin \left( \frac yx \right) \right) - ( -\cos (0)) \right)+ y \cdot \left( \pi -2 \arcsin \left( \frac yx \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 \cdot x \cdot \left(1 -\cos \left(\arcsin \left( \frac yx \right) \right) \right) + y \cdot \left( \pi -2 \arcsin \left( \frac yx \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 \cdot x \cdot \left(1 -\frac { \sqrt {x^2-y^2}}x \right) + y \cdot \left( \pi -2 \arcsin \left( \frac yx \right) \right) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} = 2 \cdot x - 2 \cdot { \sqrt {x^2-y^2}} + y \cdot \left( \pi -2 \arcsin \left( \frac yx \right) \right) \end{eqnarray*}$

Für die Batterie ziehst Du in der Tat diesen Wert zunächst von der vollen Fläche ab. Das wäre die gesuchte tägliche durchschnittliche Batterieladung, wenn die Kapazität beliebig groß wäre. Die kannst Du ausrechnen und mit der gegebenen Kapazität z vergleichen. Je nach x und y wird die Batterie entweder täglich vollgeladen oder eben nur zu einem bestimmten Anteil, den Du berechnen kannst.

15.02.2018, 09:38

lucas4321

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Vielen Dank Steffen für deine Hilfe.

Nun das Resultat dieser Gleichung ist ja eine Leistung. (Habe den Jahresstromverbrauch durch 8760 h geteilt) Müsste ich jetzt mit 1024 kWh/kWp installierte Leistung rechnen?

15.02.2018, 09:56

Steffen Bühler

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Ich weiß nicht genau, was Du meinst. Du hattest geschrieben

Zitat:

x = die installierte PV-Leistung kWp, Wertebereich: 0.1-10
y = der Jahresstromverbrauch kWh, Wertebereich: 2000-10'000
z = die Batteriekapazität kWh, Wertebereich: 0.1-10
D = Direktverbrauch der PV energie in kWh

Und in der Tat wird x und z direkt eingesetzt, für y musst Du noch durch 8760h teilen. Dann hast Du den durchschnittlichen Direktverbrauch bzw. die durchschnittliche Batterieladung eines Tages.

15.02.2018, 10:04

lucas4321

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Das Resultat ist doch aber in kW für den Fall ohne Batterie ich bräuchte aber kWh.

Was ich weiss ist, dass pro installiere kW Photovoltaik eine Energie von 1024 kWh erwartet werden kann.

15.02.2018, 10:29

Steffen Bühler

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Zitat:

Original von lucas4321
Das Resultat ist doch aber in kW für den Fall ohne Batterie ich bräuchte aber kWh.

Immer noch unklar. Die Flächen sind doch jeweils in kWh dimensioniert, wenn Du x und y in kW angibst und die Zeitachse in h bemaßt. Die Sinushalbwelle eines durchschnittlichen Tages ist ja 12 Stunden breit. (Bald ist's endlich wieder soweit!)

15.02.2018, 10:37

lucas4321

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k das würde bedeuten für das ganze Jahr müsste ich logischerweise das Resultat mit 365 multiplizieren oder?

15.02.2018, 10:43

Steffen Bühler

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Ja, wie gesagt.

Und das mit den 1024kWh pro kW installierter Leistung kapiere ich jetzt auch, glaube ich: damit kann man die durchschnittliche tägliche Spitzenleistung x berechnen:

Wenn Du 1 kWp auf dem Dach hast, müsste das ja 8760 kWh pro Jahr liefern lönnen. Weil aber die Sonne eben nicht dauernd draufscheint, bekommt man nur 1024kWh. Also muss man die installierte Leistung noch mit dieser "Effektivität" 1024/8760 multiplizieren, um das korrekte x zu erhalten.

EDIT: nicht ganz richtig, das ist nur die tägliche Durchschnittsleistung, sozusagen der Mittelwert von Sinushalbwelle tagsüber und Nulllinie nachts. Das lässt sich aber schnell auf den Spitzenwert x der Halbwelle umrechnen.

15.02.2018, 11:14

lucas4321

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Richtig angenommen. Was soll ich machen für den Fall, dass y>x ist verwirrt

verwirrt

Wurzel wird negativ und Arcsin komplex? Dann wäre ja der Direktverbrauch dem Integral der Sinushalbkurve von 0 bis Pi.

$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{\pi } \! x*sin(t) \, dt \end{eqnarray*}$

15.02.2018, 11:18

Steffen Bühler

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Das läuft wie bei der Batterie. Wenn der durchschnittliche Leistungsbedarf höher ist als die durchschnittliche lieferbare Leistung, bekommt der Verbraucher trotzdem nicht mehr. Die volle Halbwellenfläche ist halt das Maximum, mehr wird täglich im Durchschnitt keinesfalls geliefert.

15.02.2018, 15:40

lucas4321

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Zum Edit:

Also müsste ich diese Formel für den Mittelwert nehmen und nach x auflösen für den Spitzenwert?

$\begin{eqnarray*} x Mittel = \frac{1}{T} *\int_{0}^{T} \! x Spitze*sin(wt) \, dt \end{eqnarray*}$

Somit wäre der Spitzenwert = pi * Mittelwert?

15.02.2018, 15:41

Steffen Bühler

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Du darfst nur bis T/2 integrieren, weil die Nacht (also die Nulllinie) ja noch dazukommt.

EDIT: Der Faktor $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ stimmt aber trotzdem.

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