Teilbarkeitsbeweis

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04.01.2018, 15:08

nuerw3

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Teilbarkeitsbeweis

Aus diesem Thread abgetrennt: Seminararbeit (Definition)
Steffen

der Beweis sieht dann bis jetzt so aus :

04.01.2018, 16:27

IfindU

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RE: Seminararbeit ( Definition)
Ungleichung wird natürlich groß geschrieben. Und bei der Eindeutigkeit solltest du noch erwähnen, dass auch das $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ eindeutig festgelegt wird.

Die Rechnung unten ist technisch gesehen richtig, aber:
Du solltest rechnen: Es ist $\begin{eqnarray*} r = a - bq \end{eqnarray*}$ , also
$\begin{eqnarray*} a = q b + r = q b + ( a - bq) = qb + a - qb = a \end{eqnarray*}$ . Man kann $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ einsetzen, muss es aber nicht. Aber du kannst nicht einfach q einsetzen und dann so tun als stünden die Gaussklammern gar nicht da.

04.01.2018, 19:18

IfindU

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RE: Seminararbeit ( Definition)

Zitat:

Original von IfindU
Für das zweite hast du $\begin{eqnarray*} r= a - bq = a - b \left \lfloor \frac a b \right \rfloor \end{eqnarray*}$ . Nun musst du die Gaussklammern geeignet wegschätzen und so erst einmal $\begin{eqnarray*} r \geq 0 \end{eqnarray*}$ und dann $\begin{eqnarray*} r < b \end{eqnarray*}$ zu zeigen.

Die Abschätzungen folgen sofort mit den Abschätzungen für die Gaußklammern. Es ist
$\begin{eqnarray*} \frac a b -1 < \left \lfloor \frac a b \right \rfloor \leq \frac a b \end{eqnarray*}$ .

13.02.2018, 17:31

nuerw3

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Hallo nochmal von mir ich muss dies nun nächste Woche Vortragen und es wäre hilfreich wenn ich wissen würde wie man nun auf die Gauß Klammern kommt..

Also ich würde erstmal zeigen das r,q eindeutig bestimmt sind. Dann würde ich zeigen das wirklich 0<r<b und a=qb+r gilt. Ich verstehe aber nicht warum die Abschätzung für die Gauß Klammer gilt

14.02.2018, 10:47

Nuerw3

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Kann mir jemand helfen? Ich weiss nicht genau was ich zeigen soll...
Ich verstehe die reihenfolge nichr alles ist so durcheinander..
am anfang wollen wir die eindeutigkeit zeigen warum haben wir diese gezeigt und was machen wir danaxh?

14.02.2018, 15:44

HAL 9000

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Die Formulierung des Theorems oben im Scan wirkt etwas merkwürdig: Da werden lustig mathematische Aussagen mit Begriffsbildungen gemischt, außerdem wird die eigentliche Satzaussage im letzten Satz versteckt, während der erste Satz irgendwie obskur leer bleibt mit diesem "es gibt ganze Zahlen q,r". Ich fände es so passender in der Strukturierung:

Zitat:

Theorem 1.2: Seien $\begin{eqnarray*} a,b \end{eqnarray*}$ ganze Zahlen mit $\begin{eqnarray*} b>0 \end{eqnarray*}$ , dann gibt es eindeutig bestimmte ganze Zahlen $\begin{eqnarray*} q,r \end{eqnarray*}$ mit den Eigenschaften $\begin{eqnarray*} a=qb+r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq r<b \end{eqnarray*}$ . Genauer gesagt besitzen diese Zahlen (unter Verwendung der Gaußklammerfunktion) die Gestalt $\begin{eqnarray*} q=\left\lfloor \frac{a}{b} \right\rfloor \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} r=a-bq \end{eqnarray*}$ .

Anmerkung: Man nennt $\begin{eqnarray*} q \end{eqnarray*}$ den Quotienten und $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ den Rest der Division von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$

EDIT: Ich sehe gerade, dass im Originalthread hier ja tatsächlich eine Formulierungsfassung steht, die genau das berücksichtigt. Augenzwinkern

15.02.2018, 12:29

Nuerw3

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Hallo hal,

Ich bedanke mich für den Hinweis ich werde das sofort ändern.
Wie findest du den Beweis ist der richtig oder fehlt da irgendwas ?
Ich bin um ehrlich zu sein etwas verwirrt in der reihenfolge.

Also 1. wir zeigen das r,q eindeutig sind. Warum haben wir denn gezeigt das diese eindeutige sind wenn wir 0<=r<b nehmen und etwas unformulieren ?

2. findest du es richtig wenn man noch zeigen würde das 0<=r<b und a=qb+r gilt ?

3. warum gilt denn jetzt nun das wenn a/b-1< q<= a/b ist das das gleich gaußklammee von a/b ist ?

15.02.2018, 18:24

nuerw3

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noch da oder keine interesse mehr zu helfen ?
Ich habe nämlich leider keine Zeit würde es dann in ein anderem forum posten

15.02.2018, 19:34

sibelius84

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Hi,

betrachte einfach mal Zahlenbeispiele. Dividieren wir 109 mit Rest durch 17. Da passiert dann folgendes:

109 = 6*17 + 7

Dividieren wir 109 ohne Rest durch 17, so erhalten wir

$\begin{eqnarray*} 109:17 \approx 6,42 \end{eqnarray*}$ , und passenderweise ist $\begin{eqnarray*} \lfloor 6,42 \rfloor = 6 \end{eqnarray*}$ .

Wenn du eine Zahl a mit Rest durch eine andere Zahl b teilst, schaust du ja, wie oft b in a hineinpasst. Die 17 passt 6-mal in die 109, aber nicht 7-mal. Entsprechend ist $\begin{eqnarray*} 6< \frac {109}{17} < 7 \end{eqnarray*}$ , genauer gesagt eben $\begin{eqnarray*} \frac {109}{17}\approx 6,42 \end{eqnarray*}$ .

LG
sibelius84

15.02.2018, 19:49

HAL 9000

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Zitat:

Original von nuerw3
noch da oder keine interesse mehr zu helfen ?
Ich habe nämlich leider keine Zeit

Erst über einen Monat Sendepause und dann plötzlich Hektik machen. Und das, wo doch alles schon ausführlich besprochen wurde, du aber offenbar ein extrem hohes und sehr eigen(artig)es Anspruchsdenken hast, was du unter passender Hilfe verstehst...

Zitat:

Original von nuerw3
würde es dann in ein anderem forum posten

Ich hätte nichts dagegen.

15.02.2018, 20:09

nuerw3

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@Hal9000: Wo mache ich denn bitte Hektik ? Wenn du keine Interesse hast zu helfen bzw. meine Fragen zu beantworten ( was ja nun offensichtlich ist, denn du antwortest anderen mir aber nicht Augenzwinkern

) dann muss ich doch nicht unnötig warten! Ich kann ja andere Helfer darauf aufmerksam machen mir zu helfen. Ach wegen der Sendepause: Wenn ich Klausurphase habe und andere Fächer wichtiger sind zu dieser Zeit habe ich nun mal keine Zeit Augenzwinkern

@Sibelius: Hallo Sibelius und danke für deine Antwort smile

Sibelius und zwar folgendes: Ich bin etwas verwirrt, da ich nicht sicher bin ob der Beweis so ok ist oder ob das einfach zu wenig ist. Ich verstehe nicht wieso wir mit

Zitat:

Wir zeigen zuerst, dass die Zahlen $\begin{eqnarray*} r, q \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt sind. Sei also $\begin{eqnarray*} a = qb + r \end{eqnarray*}$ gegeben mit $\begin{eqnarray*} 0\leq r < b \end{eqnarray*}$ . Dividiert man $\begin{eqnarray*} 0 \leq r < b \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ , so erhält man (*) $\begin{eqnarray*} 0 \leq \frac r b < 1 \end{eqnarray*}$ (Relationszeichen drehen sich nicht um, da $\begin{eqnarray*} b > 0 \end{eqnarray*}$ ). Stellt man ausserdem $\begin{eqnarray*} a = qb + r \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} r \end{eqnarray*}$ um, so erhält man $\begin{eqnarray*} a - q b = r \end{eqnarray*}$ . Setzt man das in (*), so erhält man....

zeigen das q,r eindeutig sind. Außerdem frage ich mich ob ich zeigen muss das 0<= r <b und a=qb+r erfüllt sind (denn im Buch wird das nicht gezeigt).

15.02.2018, 21:34

HAL 9000

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Zitat:

Original von nuerw3
was ja nun offensichtlich ist, denn du antwortest anderen mir aber nicht Augenzwinkern

Weil es de facto nichts interessantes hier zu sagen gibt: Der Beweis liegt dir doch bereits vor, und ihn mit anderen Worten wiederzukäuen ist nicht sonderlich interessant.

16.02.2018, 00:33

sibelius84

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Du sagst doch schon:

Sei a=qb+r, wobei $\begin{eqnarray*} 0\leq r < b \end{eqnarray*}$ sei. Damit stecken diese beiden Dinge in der Voraussetzung und du brauchst sie nicht mehr zu beweisen.

In dem Beweis wird gezeigt, dass aus der Gleichung a=qb+r wie oben der Wert von q auf genau eine Weise gefolgert werden kann. Und damit ist es eindeutig.

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