Rechnen mit Binomialkoeffizient und binomischer Formel

15.02.2018, 10:46

nim

Rechnen mit Binomialkoeffizient und binomischer Formel

Meine Frage:
Zeige das gilt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *(\frac{1}{2} )^{n} =1 \end{eqnarray*}$

Dabei haben wir folgende Lösung erarbeitet:

Meine Ideen:
Lösung:
$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} = 1^n=(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} )^n=(x+y)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *x^{n-k} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *(\frac{1}{2} )^{n-k}*(\frac{1}{2} )^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *(\frac{1}{2} )^{n-k+k}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *(\frac{1}{2} )^{n} \end{eqnarray*}$

Dabei verstehe ich den Zwischenschritt nicht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} = 1^n=(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} )^n=(x+y)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *x^{n-k}=y^{k} =\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *(\frac{1}{2} )^{n-k}*(\frac{1}{2} )^{k} \end{eqnarray*}$

Wäre super, wenn mir jemand den Zwischenschritt erklären könnte smile

15.02.2018, 11:06

Matt Eagle

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RE: Rechnen mit Binomialkoeffizient und binomischer Formel
So, wie du es aufgeschrieben hast, ergibt das Ganze keinen Sinn.
Wo z.B. kommen da plötzlich x und y her?

Zunächst mal solltest du die Aussage des Binomischen Lehrsatzes:

$\begin{eqnarray*} (x+y)^n=\sum_{k=0}^n {n\choose k}x^ky^{n-k} \end{eqnarray*}$

mal verinnerlichen.

Die zz Behauptung ist dann nur noch eine einfache Folgerung, was sich durch Einsetzen von $\begin{eqnarray*} x=y=\frac 12 \end{eqnarray*}$ im Binomischen Lehrsatz offenbart.

15.02.2018, 13:45

HAL 9000

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Zitat:

Original von nim
$\begin{eqnarray*} 1 = \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} = 1^n=(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} )^n=(x+y)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *{\color{red}x^{n-k}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} {\color{red}y^k}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *(\frac{1}{2} )^{n-k}*(\frac{1}{2} )^{k}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *(\frac{1}{2} )^{n-k+k}=\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *(\frac{1}{2} )^{n} \end{eqnarray*}$

Dabei verstehe ich den Zwischenschritt nicht:
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{2}+ \frac{1}{2} = 1^n=(\frac{1}{2}+ \frac{1}{2} )^n=(x+y)^n = \sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *x^{n-k}{\color{blue}=}y^{k} =\sum\limits_{k=0}^{n} \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} *(\frac{1}{2} )^{n-k}*(\frac{1}{2} )^{k} \end{eqnarray*}$

Es fehlt an Sorgfalt in deiner Formeldarstellung: Z.B. sollte man nicht mitten im Summenterm zwischen $\begin{eqnarray*} {\color{red}x^{n-k}} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} {\color{red}y^k} \end{eqnarray*}$ einen Zeilenvorschub einfügen.

Dasselbe in Grün (besser: Blau) bei diesem seltsamen Gleichheitszeichen $\begin{eqnarray*} {\color{blue}=} \end{eqnarray*}$ . Allem Anschein nach hätte dort $\begin{eqnarray*} {\color{blue}*} \end{eqnarray*}$ stehen müssen.

Beides sind im Endeffekt nicht nur kosmetische Kleinigkeiten: So gelesen werden die dargestellten Gleichungsketten schlicht falsch. unglücklich

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