Stetige Funktion

18.02.2018, 11:20	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Stetige Funktion Sei $\begin{eqnarray} f:\mathbb R \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ stetig mit $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} f(x)= \beta \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty} f(x)= \alpha \end{eqnarray}$ Zeigen Sie: i) f ist beschränkt ii) f besitzt min. einen Fixpunkt (Tipp: Betrachten sie $\begin{eqnarray} g(x)=f(x)-x \end{eqnarray}$ ) Mein Ansatz: zu i) Hier bin ich ehrlich gesagt aufgeschmissen, da ich nicht weiß, ob $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \beta \end{eqnarray}$ Schranken aller Funktionswerte sind. zu ii) $\begin{eqnarray} \lim_{x \to \infty} g(x)= f(x)-x = -\infty <0 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \lim_{x \to -\infty} g(x)= f(x)-x = \infty >0 \end{eqnarray}$ Daher muss mit dem Zwischenwertsatz ein $\begin{eqnarray} x\in \mathbb R \end{eqnarray}$ ex. mit $\begin{eqnarray} g(x)=0 \Rightarrow f(x)-x=0 \Leftrightarrow f(x)=x \end{eqnarray}$ Allerdings räume ich ein nicht zu wissen ob , ich den Zwischenwertsatz anwenden darf, da f nicht stetig auf einem geschlossenen Intervall ist.
18.02.2018, 14:39	Leopold	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich vermute, daß $\begin{align} \alpha,\beta \end{align}$ reelle Zahlen sein sollen und nicht etwa $\begin{align} \pm \infty \end{align}$ . Nutze aus, daß für alle dem Betrage nach genügend großen $\begin{align} x \end{align}$ die Werte $\begin{align} f(x) \end{align}$ entweder $\begin{align} \alpha \end{align}$ oder $\begin{align} \beta \end{align}$ beliebig nahe kommen. Und auf einem Intervall $\begin{align} [-R,R] \end{align}$ mit genügend großem $\begin{align} R>0 \end{align}$ nimmt $\begin{align} f \end{align}$ als stetige Funktion ein Maximum des Betrags an (das ist dir vermutlich bekannt).
18.02.2018, 15:44	Snexx_Math	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok nur meine der Satz dafür, dass f als stetige Funktion ihr Maximum und Minimum annimt geht doch nur bei $\begin{eqnarray} f:[a,b] \rightarrow \mathbb R \end{eqnarray}$ . Und hier ist ja $\begin{eqnarray} \mathbb R \Leftrightarrow ]-\infty , \infty[ \end{eqnarray}$ Und wie stehts um die ii) ? PS: Das f als stetige Funktion ein Maximum des Betrags annimmt habe ich so noch nicht gehört

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