Kern injektiv (Beweis) |
| 20.02.2018, 11:03 | wuschelhaschen97 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Kern injektiv (Beweis) Aufgabe 4 Eine Funktion f heißt injektiv, wenn gilt: x =/ y => f(x) =/ f(y) Beweisen Sie: f Injektiv => Kern f= {0} Meine Ideen: In der Lösung steht folgendes: (leider verstehe ich es nicht, wäre toll wenn mir das jemand erklären könnte. Warum darf a nicht null sein und warum ist der Kern 0 und a?) Voraussetzung: f Injektiv , also gilt: x =/ y => f(x) =/ f(y) z.z.: kern f = {0} {0,a}, a =/ 0 => f(0) = 0 ^ f (a) = 0 (nach Def. Kern) also a =/ 0 ^ f (0) = f (a), das ist Widerspruch zur Voraussetzung => Annahme ist falsch, daraus folgt Kern f = {0} |
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| 20.02.2018, 11:30 | Mulder | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Kern injektiv (Beweis) Die Behauptung ist: Wenn f injektiv ist, ist der Kern trivial, enthält also nur die 0. Zum Beweis: Es wird angenommen, dass f injektiv ist, der Kern aber eben NICHT nur aus der 0 besteht, sondern noch mindestens ein weiteres, von 0 verschiedenes Element enthält, das hier mit a benannt wird. Und diese Annahme wird dann zu einem Widerspruch geführt, womit dann bewiesen ist, dass diese Annahme falsch war. Woraus folgt, dass im Kern eben KEIN weiteres Element außer der 0 enthalten sein kann. Und genau das sollte ja gezeigt werden. Das nennt sich Widerspruchsbeweis. |
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