Sinn einer normalen Untergruppe

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blau-eis Auf diesen Beitrag antworten »
Sinn einer normalen Untergruppe
Meine Frage:
Hallo zusammen,

mir erschließt sich der Sinn von normalen Untergruppen nicht. Die Definition ist nicht sonderlich schwer zu verstehen:

Eine Untergruppe einer Gruppe heißt "normale Untergruppe" (von ), wenn...

... gilt: bzw.

... gilt: .

Meine Ideen:
Was ist aber z.B. das Besondere an der normalen Untergruppe von im Vergleich zur Untergruppe ?


Vielen Dank im Voraus für Anregungen!
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

1. Die Faktormenge G/H einer Untergruppe G<H ist genau dann eine Gruppe, wenn H ein Normalteiler von G ist.
2. Normalteiler sind genau die Kerne von Gruppenhomomorphismen.
3. klassische Algebra : auflösbare Gruppen ( https://de.wikipedia.org/wiki/Aufl%C3%B6sbare_Gruppe )
4. Galoistheorie: K<L<M Körper, M/K galoissch, dann ist L/K galoissch genau dann wenn die zugehörige Untergruppe Aut(L/K) Normalteiler von Aut(M/K) ist.
 
 
blau-eis Auf diesen Beitrag antworten »

Danke schonmal.

Ich habe die Frage etwas falsch formuliert merke ich gerade. Ich wollte eigentlich mehr auf die Vorstellung abzielen, also welches Konzept hinter einer normalen Untergruppe steht. So ähnlich wie eine praktische Vorstellung eines Isomorphismus ist, dass beide Gruppen, Ringe,... "im Wesentlichen gleich" sind. Definitionen sind ja meist nicht anwendungspraktisch. Z.B. würde man die Definition eines Gruppen-Isomorphismus allein nicht dazu verwenden, um zu prüfen, ob und isomorph sind.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Es gibt keine Vorstellung, es gibt jedoch ganz viele Anwendungen, in denen man Begriffe wie Faktormenge (Mengenlehre), Normalteiler (Gruppentheorie), Ideal (Ringtheorie) braucht, Anwendungsbeispiele habe ich genannt.
Normalteiler sind besonders nützliche Untergruppen. Man kann sie vielleicht so verstehen, dass sie eine nützliche Eigenschaft des Untergruppenverbands abelscher Gruppen in nichtabelsche Gruppen hinüber retten.
Beispiel: Weil jeder Untervektorraum Normalteiler im Vektorraum ist, ist der Quotientenraum (= Faktorraum) immer ein Vektorraum. Bei nichtabelschen Gruppen führt dieselbe Konstruktion (Faktormenge) im allgemeinen nicht zu einer Gruppe, nur bei Normalteilern klappt das. In abelschen Gruppen G ist jede Untergruppe H Normalteiler, also die Faktormenge G/H eine Faktorgruppe.
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