Grenzwert bestimmen

21.02.2018, 16:16

mathefrag

Grenzwert bestimmen

Es geht um einen Grenzwert zu bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} t*ln(1+\frac{1}{e^t}) = \lim_{t \to \infty}t\lim_{t \to \infty}ln(1+\frac{1}{e^t}) \end{eqnarray*}$

Kann man die Aufgabe ohne L'Hopitals bestimmen?

21.02.2018, 16:24

HAL 9000

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Zitat:

Original von mathefrag
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} t*ln(1+\frac{1}{e^t}) = \lim_{t \to \infty}t\lim_{t \to \infty}ln(1+\frac{1}{e^t}) \end{eqnarray*}$

Unerlaubte Anwendung der Multiplikationsregel für Grenzwerte, da der erste Faktor rechts als Grenzwert nicht existiert. unglücklich

21.02.2018, 16:25

mathefrag

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Fehler:

Es sollte nur:

$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} t*ln(1+\frac{1}{e^t}) \end{eqnarray*}$ . Die Grenzwertsätze gelten nur wenn die Folgen konvergent sind.

21.02.2018, 16:27

mathefrag

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Zitat:

Original von HAL 9000

Zitat:

Original von mathefrag
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty} t*ln(1+\frac{1}{e^t}) = \lim_{t \to \infty}t\lim_{t \to \infty}ln(1+\frac{1}{e^t}) \end{eqnarray*}$

Unerlaubte Anwendung der Multiplikationsregel für Grenzwerte, da der erste Faktor rechts als Grenzwert nicht existiert. unglücklich

Japp. Ich habe den Fehler schon gesehen.

21.02.2018, 16:31

HAL 9000

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Ohne L'Hospital ... kommt darauf an, was du über die Logarithmusfunktion weißt:

Z.B. gilt $\begin{eqnarray*} \ln(1+x)\leq x \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x>-1 \end{eqnarray*}$ , damit haben wir hier ein Sandwich $\begin{eqnarray*} 0<\ln\left(1+e^{-t}\right) < e^{-t} \end{eqnarray*}$ für alle reellen $\begin{eqnarray*} t \end{eqnarray*}$ . Musst du "nur" noch $\begin{eqnarray*} \lim_{t\to\infty} te^{-t}=0 \end{eqnarray*}$ nachweisen, aber vielleicht kennst du das ja schon und darfst es benutzen. Augenzwinkern

21.02.2018, 19:20

mathefrag

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Ach vielen Dank. Ich glaube mit dem letzten Schritt kann man e^t mit der Reihendarstellung umformen, dann die Zähler und der Nenner mal 1/t und dann kriegt man das Ergebnis, oder?

22.02.2018, 14:38

klauss

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Zur Umgehung des unbestimmten Ausdrucks in der ursprünglichen Aufgabe hätte ich zunächst umgeformt zu
$\begin{eqnarray*} \lim_{t \to \infty } ln\left[\left(1+\frac{1}{e^{t} } \right)^{e^{t}} \right] ^{\frac{t}{e^{t} } } \end{eqnarray*}$
Dann reduziert sich das Problem eigentlich auf den äußeren Exponenten, der ja auch nach HAL 9000 übrigbleibt.

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