Erwartungswert zu einfachem Experiment

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ÜPÜ Auf diesen Beitrag antworten »
Erwartungswert zu einfachem Experiment
Meine Frage:
Hallo,
angenommen ich stehe n Stunden auf zwei Beinen und danach stelle ich mich m Stunden auf einem Bein. In diesen m Stunden kann ich mit einer Wahrscheinlichkeit von p umfallen. Sofern ich nicht in den m Stunden umfalle, stelle ich mich wieder n Stunden auf 2 Beinen und wiederhole die oben genannten Schritte.
Wann kann ich damit rechnen, dass ich umfalle? Also was wäre der Erwartungswert?

Meine Ideen:
Intuitiv würde ich sagen, dass ich nach 1/p*(m+n) Stunden umfallen würde. Dennoch bin ich mir zum Einen nicht sicher und zum Anderen muss dieses bescheuerte Experiment doch auch in ein stochastisches Modell mit Wahrscheinlichkeitsraum, Verteilung und Erwartungswert überführt werden können.
Wie würde das dann sauber aussehen?
Vielen Dank schon einmal für jede Hilfe.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Es fehlt noch eine kleine Information: Der Zeitpunkt, an dem man innerhalb der Stunden umfällt, soll vermutlich über diese Zeit stetig gleichverteilt sein, oder?


In dem Sinne wäre dann der Zeitpunkt stetig gleichverteilt mit Dichte

.

D.h., das ganze setzt sich so zusammen: Die Nummer der "Stehperiode" , in der man dann umfällt, ist geometrisch verteilt mit Parameter . Innerhalb dieser Periode ist dann der Zeitpunkt stetig gleichverteilt.


Der Erwartungswert dafür ist .
 
 
ÜPÜ Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Hal 9000.
Danke für die schnelle Antwort. Ok das meinte ich eigentlich auch mit .
Aber ich tue mich immer noch ein wenig schwer mit dieser Situation.
Die Zufallsvariable beschriebt doch jetzt den Zeitpunkt, wann man umfällt. Jetzt gibt es einen Teil, welcher geometrisch und welcher gleichverteilt ist. Wie führt man diese beiden Verteilungen jetzt zusammen, damit man eine neue Verteilung gewinnt, welcher diesen Erwartungswert bestätigt. Also mir ist klar, dass dies der richtige Erwartungswert ist. Ich möchte bloß verstehen, wie man von den Verteilungen jetzt daruf formell schließen kann.

Ist die von dir definierte Dichtefunktion die Dichtefunkton von X über den gesamten Zeitraum?
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du die Bildung von , die ich oben ja erläutert habe, verstanden hast, dann ergibt sich dieser Erwartungswert auch schlicht durch die übliche Rechnung

.
ÜPÜ Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mann ja, ich vergaß die Summe der Integrale zu bilden. Ok Das leuchtet mir ein.
Ich glaub ich habs verstanden. Aber wi kommt man darauf die Dichtefunktion so zu definieren.
Also das kommt aus der Wahrscheinlichkeit der Gleichverteilung der über dessen Dichtefunktion. Und dann multipliziert man es mit der Wahrscheinlichkeit der geomtrischen Verteilung nach dem k-ten Versuch. Klingt eigentlich logisch.
War das jetzt Zufall das man das so gemacht oder ist das die übliche Vorgehensweise um aus zwei Verteilungen, wovon nur die eine stetig ist, eine neue stetige Verteilung zu gewinnen?
Danke für die Hilfe
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von ÜPÜ
Oh mann ja, ich vergaß die Summe der Integrale zu bilden. Ok Das leuchtet mir ein.
Ich glaub ich habs verstanden. Aber wi kommt man darauf die Dichtefunktion so zu definieren.

Eigentlich dachte ich, das oben ausreichend erläutert zu haben. Also gut, hier die Super-Extended-Version:


Zunächst mal macht man sich Gedanken über die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Nummer des m-Intervalls, wo das Umfallen passiert:

Im ersten solchen Intervall mit Wahrscheinlichkeit .

Im zweiten solchen Intervall mit der bedingten (!) Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass man überhaupt das erste m-Intervall überstanden hat. Als absolute Wahrscheinlichkeit bedeutet das .

Im dritten solchen Intervall mit der bedingten (!) Wahrscheinlichkeit unter der Bedingung, dass man die ersten zwei m-Intervalle überstanden hat. Als absolute Wahrscheinlichkeit bedeutet das , usw.

Das führt zwangsläufig auf die angesprochene geometrische Verteilung. Der Rest betrifft die bedinge Verteilung des Zeitpunkts des Umfallens innerhalb dieses Intervalls unter der Bedingung, dass man überhaupt in genau diesem Zeitintervall umfällt. Diese bedingte stetige Verteilung ist die Gleichverteilung auf jenem Zeitintervall , und die hat die bedingte Dichte (also Kehrwert der Intervalllänge, wie es bei stetiger Gleichverteilung nun mal so ist). Für die absolute Dichte wird dieser Wert mit der o.g. geometrischen Wahrscheinlichkeit für dieses k-te Intervall multipiliziert - das war's.


Zitat:
Original von ÜPÜ
War das jetzt Zufall das man das so gemacht oder ist das die übliche Vorgehensweise um aus zwei Verteilungen, wovon nur die eine stetig ist, eine neue stetige Verteilung zu gewinnen?

Jede Situation ist anders, es gibt unzählige Möglichkeiten, diskrete und stetige Verteilung irgendwie zu kombinieren. Insofern gibt es da kein vorgefertigtes Schema, was man einfach drüberlegen kann, es gilt die Situation sorgfältig zu analysieren und dann ein passendes Modell zu finden.


Meine Modellierung oben ist z.B. auch nicht der Weisheit letzter Schluss: Wieso soll die Umfallzeit innerhalb der m-Intervalle jeweils stetig gleichverteilt sein? Man könnte doch annehmen, dass man am Anfang noch relativ stabil steht und am Ende wackliger, also wäre statt einer konstanten Dichte vielleicht eher eine irgendwie streng monoton steigende Dichte innerhalb jedes solchen Intervalls passender. Ich hab die stetige Gleichverteilung nur mangels anderer Informationen gewählt, weil sie gewissermaßen den einfachsten Zugang darstellt.
ÜPÜ Auf diesen Beitrag antworten »

Ah ok. Danke nochmal für die ausführliche Erklärung. Mit Stochastik hab ich mich immer irgendwie schwer getan.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Hab nochmal drüber nachgedacht, obiges kann man auch so modellieren:

mit einer Geo(p)-verteilten Zufallsgröße (Variante A) sowie einer gleichmäßig stetig (0,1)-verteilten Zufallsgröße , wobei unabhängig voneinander sind.

Das vereinfacht dann auch die Berechnungen: Mit sowie folgt

,

ebenso schnell folgt mit sowie dann für die Varianz

.
ÜPÜ Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo HAL 9000,

erstmal danke für die ausführlichen Erklärungen.
Ich würde dich aber gerne nochmal belästigen.
Mal angenommen, ich präzisiere das Modell indem ich die Wahrscheinlichkeit aufteile.
Dabei können verschiedene Szenarien entstehen

Szenario 1:
In den Stunden, wo ich auf einem Bein stehe, kann ich, mit einer Wahrscheinlichkeit von umfallen. Wann genau das passiert ist wieder gleichverteilt.
Sofern ich umfalle, lande ich mit einer Wahrscheinlichkeit von im Dreck. Danach starte ich wieder von vorne

Wann kann ich jetzt damit rechnen im Dreck zu landen. Mein Vorschlag:



Stimmt das?

Szenario 2:
In den Stunden, wo ich auf einem Bein stehe, kommt mit einer Wahrscheinlichkeit von ein heftiger Windstoß, welcher die ganze Zeit weht. Infolge des Windes fall ich bei Gleichverteilung mit einer Wahrscheinlichkeit von um und lande infolge des Umfallens mit einer Wahrscheinlichkeit von im Dreck.
Wann kann ich nun damit rechnen in den Dreck zu fallen. Mein Vorschlag


Weil doch meine neue Zeit wäre, wo eigentlich nix passiert.
Stimmt das?

Jetzt Szenario 3:
In den Stunden, wo ich auf einem Bein stehe, kommt bei Gleichverteilung mit einer Wahrscheinlichkeit von ein heftiger Windstoß. Infolge des Windstoßes fall ich unmittelbar danach mit einer Wahrscheinlichkeit von um und lande infolge des Umfallens mit einer Wahrscheinlichkeit von im Dreck.
Wann kann ich nun damit rechnen in den Dreck zu fallen. Mein Vorschlag


Doch das ist doch jetzt das gleiche wie oben. Meiner Meinung nach müsste doch hier ein Unterschied vorliegen.
Was mach ich noch falsch.
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Von der Formel zurückgeschlossen würde ich bei Szenario 1 annehmen, dass du nicht

Zitat:
Original von ÜPÜ
Sofern ich umfalle, lande ich mit einer Wahrscheinlichkeit von im Dreck. Danach starte ich wieder von vorne

meinst, sondern

Zitat:
Sofern ich umfalle, lande ich mit einer Wahrscheinlichkeit von im Dreck, das ist dann die Endzeit. Andernfalls (d.h. mit Wkt ) starte ich wieder von vorne

Dann, und nur dann würde das Ergebnis für mich Sinn machen.

Da ich ähnliches bei den offenkundig noch "verdrehteren" Einfällen 2 und 3 vermute, ist meine Motivation sehr getrübt, mir das überhaupt richtig durchzulesen.
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