Nullstellenbestimmung

28.02.2018, 11:52	IchWeißNicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellenbestimmung Hallo Freunde, ich habe folgende Funktion zu der ich die reelen Nullstellen suche: $\begin{eqnarray} f(x)=-x^{(n+1)}+(2n+1)x-2n \end{eqnarray}$ Die trivialle Nullstelle ist $\begin{eqnarray} x_{01}=1 \end{eqnarray}$ Daraus kann ich dann folgende Form bauen: $\begin{eqnarray} -x^{(n+1)}+(2n+1)x-2n = -(x-1)(\sum\limits_{i=1}^nx^i-2n) \end{eqnarray}$ Mich interessiert insbesondere die Nullstelle die größer als 1 ist, diese konvergiert von oben gegen 1 je größer n wird aber ich kann sie nur näherungsweise berechnen. Schön wäre eine geschlossene Formel. Kann mir da jemand einen Tip geben, ob es für $\begin{eqnarray} (\sum\limits_{i=1}^nx^i-2n) \end{eqnarray}$ bereits eine geschlossene Form für die NST gibt? Vielen Dank und beste Grüße Marvin
28.02.2018, 16:39	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi, da wir im Forum "Hochschulmathe" sind, antworte ich darauf mal mit Tipps wie folgt: Da du die Nullstelle x=1 kennst, kannst du den Linearfaktor x-1 abspalten. Die klassischen Werkzeuge dazu wären Polynomdivision oder Horner-Schema. Evtl. geht es aber auch 'freestyle': $\begin{eqnarray} f(x) = -x^{n+1} + x + 2n\dot x - 2x = -x(x^n-1) + 2n(x-1) = -x(x-1)\left(\sum_{\nu=0}^{n-1}x^\nu\right)+2n(x-1) = (x-1)\left(2n- \sum_{\nu=1}^n x^\nu \right) \end{eqnarray}$ . Ok, dein Ergebnis ist also richtig, jetzt bin ich auf der Höhe Um eine geschlossene Formel zu erreichen, habe ich für n=2 mit der pq-Formel gerechnet und für n=3 die Funktion in wolframalpha eingegeben, um daraus eine allgemeine Formel zu erraten. Schlug leider fehl; was da stand, war so hässlich, dass ich es wieder aufgegeben habe. Falls n gerade ist, könnte man zumindest zeigen, dass die erste Ableitung des Restpolynoms überall größer als 0 ist (Induktion?), also streng monoton steigend, und es mithin nur eine Nullstelle (des Restpolynoms) geben kann. Falls n ungerade ist, sieht man mit dem Zwischenwertsatz, dass dann noch eine zweite Nullstelle links von x=1, vermutlich im negativen Bereich existiert. Sorry, weiter kann ich dir nicht helfen, aber ich habs wenigstens versucht LG sibelius84 edit: Vielleicht könnte man irgendwie eine Rekursion aufstellen, aus der man die Nullstelle von f_n in Abhängigkeit von der Nullstelle von f_(n-1) angeben kann)? Und dann daraus die gesuchte explizite Formel basteln?
28.02.2018, 17:04	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
Naja, dass das für $\begin{eqnarray} n>4 \end{eqnarray}$ mit der expliziten Auflösung nix wird, konnte man schon erahnen (Herr Abel lässt grüßen). Immerhin ist klar, dass Funktion $\begin{eqnarray} f_n(x) := \sum_{k=1}^n x^k - 2n \end{eqnarray}$ für positive $\begin{eqnarray} x \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend ist und somit maximal eine positive reelle Nullstelle hat, die wegen $\begin{eqnarray} f_n(1)=-n<0 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} f_n(2) >0 \end{eqnarray}$ irgendwo im Intervall $\begin{eqnarray} (1,2) \end{eqnarray}$ liegt.
05.03.2018, 14:09	IchWeißNicht	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo ihr beiden und besten Dank für eure Hilfe. Ich habe mich am Wochenende auch weiter mit dem Thema beschäftigt, bin dann auch darauf gestoßen, dass Polynome mit Grad größer 4 keine geschlossen Lösungsformel mehr bestitzen. Das ist zwar sehr schade aber ich komme mit Näherungsverfahren auf meine gewünschten 4 Nachkommerstellen sehr gut hin von daher muss ich das dann so lösen. Danke für eure Zeit und beste Grüße

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