Funktionenschar (Ortskurve)

28.02.2018, 19:12

Marcsmathe

Funktionenschar (Ortskurve)

Gesucht ist die Ortskurve der Funktionenschar fk(x) = 1/6k*x^3-x^2+1,5kx, bei welcher die Maximumpunkte auf der Parabel p(x)= 2/3*x^2 liegen, sowie die Minimumpunkte auf der Geraden g(x)= 0. Die Schrittfolge kenne ich, jedoch bereitet mir das Einsetzen des Extremwertes in die zweite Ableitung Probleme.

28.02.2018, 19:58

sibelius84

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Als Extremumskandidaten kriege ich da raus

$\begin{eqnarray*} x_{1/2}=\frac 2 k \pm \sqrt{\left(\frac 2 k \right)^2 - 3} \end{eqnarray*}$ .

Knöpfen wir uns doch mal zunächst vor

$\begin{eqnarray*} x_{1}=\frac 2 k + \sqrt{\left(\frac 2 k \right)^2 - 3} \end{eqnarray*}$ .

Dies können wir schreiben als

$\begin{eqnarray*} x_{1}=\frac{2+\sqrt{4-3k^2}}{k} \end{eqnarray*}$ .

Nun (wie üblich jeweils auf beiden Seiten) mit k multiplizieren, 2 subtrahieren, und quadrieren. Dann erhält man eine quadratische Gleichung in k, die man mit der pq-Formel lösen kann.

Man muss (wieder: wie üblich) erstmal ein wenig am Ball bleiben und den Kopf rauchen lassen, bis man einen Fuß in der Tür hat. Danach geht dann aber eigentlich alles normal, mit der üblichen, wie du schon sagst, "Schrittfolge". Man muss nur einen langen Atem haben und darf sich von kompliziert aussehenden Termen nicht abschrecken lassen Augenzwinkern

EDIT:
Es geht noch einfacher: die Notwendige Bedingung für Extremstellen lautet ja

0,5kx²-2x+1,5k=0

und hier kann man direkt k ausklammern und dann nach k umformen.

01.03.2018, 17:11

Marcsmathe

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Und wie bringe ich die erste Ableitung auf Normalforum um die Nullstellen zu berechnen ? Wie erkenne ich nun die jeweiligen Maximum und Mimimum Punkte und finde heraus, ob diese auf der angegeben Parabel bzw. Geraden liegen ?

01.03.2018, 20:39

sibelius84

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Zitat:

Original von Marcsmathe
Und wie bringe ich die erste Ableitung auf Normalforum um die Nullstellen zu berechnen ?

Mit 2 multiplizieren, durch k teilen. Das hatte ich in meinem Post oben schon gemacht.

Zitat:

Wie erkenne ich nun die jeweiligen Maximum und Mimimum Punkte

Durch Einsetzen der Koordinaten, die ich oben angegeben hatte, in die Funktion und fleißiges, ausdauerndes Rechnen. Klammern nebeneinander schreiben und von Hand ausmultiplizieren. Potenzgesetze anwenden. Wurzelausdrücke vereinfachen. Ausrechnen durch sukzessive Verschönerung. Das kostet leider Zeit und ist fehleranfällig, aber man kommt nicht drumherum, es gehört zur Mathematik dazu wie das Ausmisten zum Reitstall.

Zitat:

und finde heraus, ob diese auf der angegeben Parabel bzw. Geraden liegen ?

Das wäre ja nun das geringste Problem: Die Parabel ist ja $\begin{eqnarray*} \frac 2 3 x^2 \end{eqnarray*}$ , also müsstest du einfach vergleichen, ob bei Einsetzen der x-Koordinate in die Funktion dasselbe herauskommt wie bei Einsetzen in die Parabel.
Ist aber das Problem nicht vielmehr, die Ortskurve konkret zu bestimmen? Da wäre die Antwort wieder: In die oben mühsam errechnete x-Koordinate nun das errechnete k einsetzen, und noch mal fleißig rechnen. Angesichts der Einfachheit des Ergebnisses drängt sich mir aber der Verdacht auf, dass da immerhin eine Menge wegfällt.

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