Isomorphismus zwischen zwei Gruppen

28.02.2018, 20:37	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Isomorphismus zwischen zwei Gruppen Guten Abend zusammen, ich habe gerade etwas mühe zu zeigen, dass zwei Gruppen isomorph zueinander sind. Sei also $\begin{align} O(p,q)=\{A\in GL(p+q,\mathbb{R})\| (Ax,Ay)_{p,q}=(x,y)_{p,q},\forall x,y\in\mathbb{R}^{p+q}\} \end{align}$ , wobei wir $\begin{align} (x,y)_{p,q}=\sum\limits_{j=1}^{p}x_jy_j-\sum\limits_{j=p+1}^{p+q}x_jy_j \end{align}$ definiert haben. Zu zeigen ist nun, dass $\begin{align} O(p,q)\cong O(q,p),\forall p,q\in\mathbb{N} \end{align}$ . Um zu zeigen, dass zwei Gruppen isomorph sind, muss man einen eine strukturerhaltende, bijektive Abblidung $\begin{align} \phi: O(p,q)\to O(q,p) \end{align}$ finden (ich kenne zumindest keine anderen Möglichkeiten um zu zeigen, dass zwei Gruppen isomorph sind). Leider fällt mir nicht wirklich eine Abbildung ein, die entsprechende Eigenschaften hat... Die Frage wäre nun also, ob es Tricks gibt solche Abbildungen zu finden und welche das wären? Falls es keine gibt, wäre ich für ein wenig Unterstützung bei dieser Aufgabe sehr dankbar! Gruss Sito
01.03.2018, 08:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Spontan fällt mir ein, dass es den Kosmologen egal ist, ob die Raumzeit-Metrik durch die Diagonal-Matrix diag(1,1,1,-1) oder diag(-1,-1,-1,1) dargestellt wird. Der allgemeine Fall lässt sich vermutlich daraus herleiten: diagonalisieren und mit -1 multiplizieren.
02.03.2018, 17:54	Sito	Auf diesen Beitrag antworten »
Zuerst mal vielen Dank für den Tipp! Leider konnte ich damit nicht wirklich etwas anfangen und habe deshalb zusammen mit ein paar Kommilitonen eine andere Idee verfolgt. Ich wäre also froh wenn du, oder natürlich auch jemand anders hier, mal einen Blick drüber werfen könnte. Zuest bemerken wir, dass $\begin{align} (x,y)_{p,q}=x^TB^{p,q}y \end{align}$ , wobei $\begin{align} B^{p,q}:=\begin{pmatrix}\mathbb{1}_{p}&0\\0&-\mathbb{1}_{q}\end{pmatrix} \end{align}$ . Daraus folgt $\begin{align} (Ax,Ay)_{p,q}=(x,y)_{p,q} \Leftrightarrow AB^{p,q}A^T=B^{p,q} \end{align}$ . Die Idee war es nun durch eine Funktion (die später den Gruppenisomorphismus bilden soll) aus $\begin{align} B^{p,q} \end{align}$ durch anwenden $\begin{align} -B^{q,p} \end{align}$ zu machen. Um das zu erreichen muss man die Reihen und Spalten von $\begin{align} B^{p,q} \end{align}$ in einer bestimmten Reihenfolge vertauschen... Durch etwas rumprobieren sind wir dann auf die Idee gekommen folgende Matrix zu definieren: $\begin{align} \sigma_{ij}=\begin{cases}1 \text{ falls } j=n+1-i\\ 0 \text{ sonst}\end{cases} \end{align}$ (ich bin mir nicht ganz sicher, ob das hier als formale Definition Sinn macht, aber die Idee wares nur 1 auf der "anderen" Diagonalen zu erlauben). Damit würde dann gelten: $\begin{align} -B^{q,p}=\sigma B^{p,q}\sigma \end{align}$ . Dann definiert man die Funktion $\begin{align} \varphi_{\sigma}: G\to G, g\mapsto \sigma g \sigma \end{align}$ . Nun zeigt man die Eigenschaften eines Isomorphismus für diese Funktion.
02.03.2018, 22:01	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Genau so kann es gehen. Habe gerade mal alles getestet und es funktioniert! Und wirklich krass, ja, es gilt doch glatt zB $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 9 & 8 & 7 \\ 6 & 5 & 4 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Das ist absolut logisch, wenn man sich überlegt, dass die Matrix $\begin{eqnarray} \sigma \end{eqnarray}$ genau einer Vertauschung der Reihenfolge der Basisvektoren entspricht: Der erste, b1, wird ursprünglich abgebildet auf b1+4b2+7b3. Aber in der neuen Basis ist er ja nun der dritte, und der ursprünglich dritte ist nun der erste, also wird er nun auf 7b1'+4b2'+b3 abgebildet (und dies in der rechten, nicht mehr in der linken Spalte).

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