Reihe Aufgabe

01.03.2018, 01:03	feliiixxx	Auf diesen Beitrag antworten »
Reihe Aufgabe Hallo zusammen, ich habe eine Aufgabe hier: $\begin{eqnarray} a_n:=\sum\limits_{k=1}^{n} \frac{1}{n+k} \end{eqnarray}$ i. Zeige für alle $\begin{eqnarray} n \in \mathbb N: a_{n+1}-a_n = \frac{1}{(2n+1)(2n+2)} \end{eqnarray}$ ii. Zeige $\begin{eqnarray} (a_n)_{n\in \mathbb N} \end{eqnarray}$ streng monoton wachsend und beschränkt. iii. Zeige, dass (a_n)_{n\in \mathbb} konvergiert und gib den Grenzwert in der Form $\begin{eqnarray} \sum\limits_{k=1}^{\infty} b_n \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (b_n)_{n\in\mathbb N} \subseteq \mathbb R^_+ \end{eqnarray}$ an. Ideen: i. ich habe die beiden mit der Geometrische Summenformel umgeformt und habe nichts gutes rausbekommen ii. zz: $\begin{eqnarray} a_{n+1}>a_n \end{eqnarray*}$ ich habe mit der geometrischen Summenformel versucht aber dann ist alles zu unordentlich gewesen, um etwas für nur 1Punkt rauszukriegen...sehe ich nicht was, das so offenbar ist? Beschränktheit: wenn n nach unendlich geht, dann können wir die Geometrische Reihe nutzen aber das hat auch leider nichts gebraucht. iii. Von ii konvergiert die Folge per Monotonieprinzip. Ich dachte: Geometrische Reihe: 1/1-q, q geht nach null und somit ist der Grenzwert gleich null. Hilfe ist sehr willkommen.
01.03.2018, 07:28	HAL 9000	Auf diesen Beitrag antworten »
i) kann man schlicht durch Einsetzen ausrechnen - die meisten Summenglieder der Differenz $\begin{eqnarray} a_{n+1}-a_n = \sum_{k=1}^{n+1} \frac{1}{n+1+k} - \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} = \sum_{i=n+2}^{2n+2} \frac{1}{i} - \sum_{k=n+1}^{2n} \frac{1}{i} \end{eqnarray}$ löschen sich gegenseitig aus, den Rest kann man aufsammeln. Die Monotonie in ii) kann direkt aus i) gefolgert werden - anscheinend ist es dir überhaupt nicht in den Sinn gekommen, dass die Teilaufgaben aufeinander aufbauen. Gleiches gilt für die Konstruktion der $\begin{eqnarray} b_n \end{eqnarray}$ in Teilaufgabe iii), die kann man direkt ohne jede Rechnung aus i) übernehmen: Man betrachtet einfach $\begin{eqnarray} (a_n) \end{eqnarray}$ als Partialsummenfolge der Reihe $\begin{eqnarray} \sum_{k=1}^{\infty} b_k \end{eqnarray}$ . Damit ist $\begin{eqnarray} b_n=a_n-a_{n-1} \stackrel{i)}{=} \frac{1}{(2n-1)2n} \end{eqnarray}$ eine passende Wahl für die Reihenglieder. Die Beschränktheit in ii) bekommt man z.B. durch die einfache Abschätzung $\begin{eqnarray} a_n = \sum_{k=1}^n \frac{1}{n+k} < \sum_{k=1}^n \frac{1}{n} = 1 \end{eqnarray}$ . Und: Mit geometrischer Reihe hat das hier aber auch nicht das geringste zu tun. Keine Ahnung, wie du auf diese Idee kommen konntest, nichts an den Strukturen hier weist darauf hin.
01.03.2018, 08:29	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Hier ebenfalls: Ist es möglich, dass diese Aufgabe aus einer kürzlich geschriebenen Analysis 1 Klausur stammt? (Tipp: nächstes Mal die Einsicht besuchen, dort lassen sich neben der eigenen Fehler auch Lösungshinweise für die Aufgaben einsehen)

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