Gleichmäßige Stetigkeit zeigen

01.03.2018, 10:24

mikamika

Gleichmäßige Stetigkeit zeigen

Hallo,

Aufgaben:

a. Sei $\begin{eqnarray*} f:=D\rightarrow \mathbb R \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} D \subseteq \mathbb R \end{eqnarray*}$ (nicht leere Menge). Es existieren ein C > 0 und ein $\begin{eqnarray*} p\in (0,1) \end{eqnarray*}$ sodass:
$\begin{eqnarray*} <br /> |f(x)-f(y)| \geq C|x-y|^p \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in D \end{eqnarray*}$ . Zeige, dass f gleichmächig stetig ist.

b. Zeige, dass die folgende Funktion $\begin{eqnarray*} f:=[1,\infty)\rightarrow \mathbb R, f(x) = ln(x) + x \end{eqnarray*}$ gleichmäßig stetig ist. Hinweis: Zeige dafür zunächst, dass $\begin{eqnarray*} x,y \in [1,\infty) \end{eqnarray*}$ gilt $\begin{eqnarray*} |ln(x)-ln(y)| \leq |x-y| \end{eqnarray*}$ .

c. Zeige, dass die folgende Funktion $\begin{eqnarray*} f:= \mathbb R^*_+ \rightarrow \mathbb R, f(x) = lnx + x^2 \end{eqnarray*}$ NICHT gleichmäßig stetig ist.

Ideen:

a. ich dachte: sei $\begin{eqnarray*} \delta := (\frac{\epsilon}{C})^{\frac{1}{p}} \end{eqnarray*}$ und dann einsetzen und dann hat man das Ergebnis.
b und c habe ich leider keine Ahnung.

Ich hoffe, dasss jemand mir helfen kann. smile

01.03.2018, 10:31

HAL 9000

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Zitat:

Original von mikamika
Es existieren ein C > 0 und ein $\begin{eqnarray*} p\in (0,1) \end{eqnarray*}$ sodass:
$\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| ~{\color{red}\geq}~ C|x-y|^p \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} x,y\in D \end{eqnarray*}$ .

Da sollte wohl eher $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)| ~{\color{red}\leq}~ C|x-y|^p \end{eqnarray*}$ stehen.

01.03.2018, 10:32

mikamika

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Ja hast du recht!

01.03.2018, 10:40

HAL 9000

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Dann greift auch deine Idee dort.

Bei b) könnte man z.B. mit dem Mittelwertsatz arbeiten (den obigen Hinweis lasse ich mal außen vor): Der besagt, dass es für gegebene $\begin{eqnarray*} x,y\in [1,\infty) \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} \xi \end{eqnarray*}$ zwischen $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ gibt mit $\begin{eqnarray*} f(x)-f(y) = f'(\xi)\cdot (x-y) = \left(\frac{1}{\xi}+1\right)\cdot (x-y) \end{eqnarray*}$ . Angesichts von $\begin{eqnarray*} \xi\geq 1 \end{eqnarray*}$ führt das zur Abschätzung $\begin{eqnarray*} |f(x)-f(y)|\leq 2|x-y| \end{eqnarray*}$ .

Bei c) kannst du leicht z.B. für $\begin{eqnarray*} \varepsilon=1 \end{eqnarray*}$ sowie jedes $\begin{eqnarray*} \delta>0 \end{eqnarray*}$ ein $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ angeben mit $\begin{eqnarray*} \left| f\left(x+\frac{\delta}{2}\right)-f(x) \right| > 1 \end{eqnarray*}$ .

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