Integrand bei Substitution handhaben

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punktlandung3 Auf diesen Beitrag antworten »
Integrand bei Substitution handhaben
Meine Frage:
Ich konnte leider nicht herausfinden, wie genau die Methode heißt. Unterschieden werden die (angesprochene) Substitution und die explizite Substitution.
Wenn ich also mit der normalen Substituion ein Integral ausrechnen möchte, setze ich
zu mit .
Wenn dann aber das Integral noch nicht lösbar ist und ich weiter umstellen möchte, was mache ich mit dem d-v(x)? Wie würde ich z.B. einen anderen Term (bspw. durch Ergänzung) mit d-v(x) ableiten. Oder wie würde ich bei expliziter Substitution, partieller Integration mit diesem Integrand umgehen?

Meine Ideen:
Es hat etwas gedauert, aber so viel ist sicher,
.
Weitere Beispiele habe ich noch nicht gefunden.
005 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integrand bei Substitution handhaben
Ich kenne nur eine Substitutionsregel und die schreibt sich als



mit .

Die kann man entweder von rechts nach links anwenden

,

oder von links nach rechts

.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, es gibt die "Substitution von außen" und die "Substitution von innen".

Beispiel Substitution von außen:



(Dann weiter mit partieller Integration.)

Beispiel Substitution von innen:



(Dann wieder weiter mit partieller Integration, oder noch besser geschickt mit trigonometrischen Identitäten.)

Bei der Substitution von innen muss die Funktion x(t) bijektiv sein (da sie ja die Umkehrfunktion des phi aus der Substitutionsregel ist). Bei der Substitution von außen darf v im Prinzip zunächst mal alles sein außer konstant. Damit gehen dann auch manchmal so schöne Sachen wie



für alle stetigen Funktionen f. Augenzwinkern
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Mit bestimmten Integralen formuliert bedarf es dieser Unterscheidung "außen/innen" nicht:

Es ist nur die Frage, ob man das ganze von links nach rechts oder von rechts nach links liest.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Mathematisch ist die Unterscheidung selbstverständlich obsolet, so wie vieles andere auch. Ich denke aber, dass sie didaktisch ganz sinnvoll ist. Niemand würde darauf kommen, in meinem ersten Beispiel , oder in meinem zweiten Beispiel zu substituieren. Ok, das Letztere vielleicht schon, wenn man darauf kommt, das Integral zu schreiben als



und dann den hinteren Faktor als Ableitung des arccos erkennt. Aber der Gedankengang, den man durchläuft, ist dann ein anderer. Wenn man sich dann dransetzt, ein paar Beispiele unter Einbeziehung "beider" Vorgehensweisen durchzurechnen, wird es einem irgendwann dämmern, dass es dasselbe ist. Bei mir war das der Fall, als ich irgendwann einmal mit einem Integral wie konfrontiert war. Zunächst habe ich versucht, zu substituieren und erhalten:

.

Wenn man noch etwas unsicher ist und es einem noch an der nötigen Entschlossenheit und Verbissenheit mangelt (so wie mir damals), dann interpretiert man das erneute Auftreten des Terms möglicherweise zunächst als Scheitern bzw. zumindest als schlechtes Omen und macht dann evtl einen "zweiten" Versuch in der Form . Dies hat den heuristischen Vorteil, dass durch die Formel nie die Situation entstehen kann, dass plötzlich beide Variablen im Integral auftauchen und man in einer Sackgasse steckt. Damit erhält man dann flugs

.

Wenn man nun den "Fehlversuch" von oben noch im Hinterkopf hat und von der Frage umgetrieben wird, wieso zum Teufel das oben denn nur "nicht geklappt" hat, dann wird man die Ähnlichkeit der "beiden" Integrale erkennen; und dann wird es einem (wenn man dann noch zum Vergleich die Formel hinzuzieht) dämmern, dass dies eigentlich zwei Seiten der selben Medaille sind, das ist dann eines dieser wunderbaren Aha-Erlebnisse, die die große, ewige Mathematik für den kleinen, vergänglichen Menschen bereithält, um die erleben zu können man überhaupt erst Mathematik studiert, und die man so intensiv wie möglich genießen und auskosten sollte - schon allein, um die eigene Vergänglichkeit und Unzulänglichkeit für einen kleinen Moment der Glückseligkeit vergessen zu können und sich als Teil des ewigen großen Ganzen zu fühlen. smile
Leopold Auf diesen Beitrag antworten »

Für die Substitution "von innen" ist die Bijektivität der Transformation vonnöten, für die Substitution "von außen" nicht.

Beispiel 1

In substituiert man die im x-Intervall nicht bijektive Transformation und erhält als Ergebnis



Beispiel 2

In substituiert man . Wegen und erhält man



Die aufmerksam waren, haben natürlich gemerkt, daß dieses Ergebnis falsch ist.
 
 
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