Partialbruchzerlegung

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Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »
Partialbruchzerlegung
a.)

b.)


Meine Idee:

a.) Nullstellen:





Koeffizientenvergleich:


also





Wenn ich die beiden Gleichungen addiere, komme ich auf:

Darf ich dann nochmal eine Gleichung drauf addieren ?, damit B verschwindet. Dann käme ich auf:

also und

Integral lässt sich dann durch Substitution lösen.



b.)Nullstelle:

Da is schon mein problem. Nur eine Nullstelle.



Wie gehts dann weiter ? Vielleicht banal, aber ich finde keine Beispiele mit der Nullstelle 0, deswegen kenn ich das prozedere nicht.

Vielleicht ?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

(a) sieht super aus, wobei man das einfacher auch zB folgendermaßen machen kann:

x+1 = A(x-3) + B(x-2)

"Limes x gegen 3" auf beiden Seiten liefert B=4.

"Limes x gegen 2" auf beiden Seiten liefert -A=3, also A=-3.

Zu (b):

Die Faktorisierung des Nennerpolynoms ist . Nachdem man sich davon überzeugt hat, dass das quadratische Polynom irreduzibel (= nicht weiter zerlegbar) ist, lautet der Ansatz



Die Ableitung des Nenners ist 4x+3. Damit kann man einen Teil logarithmisch integrieren. Hierzu schreibt man um:



Der erste Teil integriert sich dann logarithmisch zu .

Für den zweiten Teil ergänzt man den Nenner quadratisch zu

und substituiert zB , um ihn dann mit dem Arcustangens knacken zu können.
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

Hey danke, logarithmisches Integrieren kannte ich noch garnich, eventuell machn wir das erst in der Vorlesung, ich komm dann nochmal drauf zurück.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ihr Substitution hattet, hattet ihr im Prinzip auch logarithmische Integration.

Etwa bei würdest du ja vermutlich als erstes versuchen, v(x):=x^2-2 zu substituieren. Das ergäbe

.

Nun kürzt sich 2x raus, und 1/v integriert sich zu .

Dies kann man verallgemeinern: Hat man ein Integral mit einem Bruch gegeben, wo der Zähler die Ableitung des Nenners ist, dann ist "Logarithmus vom Betrag des Nenners" hierzu eine Stammfunktion:

.
Kathreena Auf diesen Beitrag antworten »

Ach das ist damit gemeint, danke das hab ich so nich rausgelesen^^.

Danke
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