Herleitung Gateaux-Differential unklar

04.03.2018, 22:41	Civing	Auf diesen Beitrag antworten »
Herleitung Gateaux-Differential unklar Nabend zusammen, im Rahmen der Tensoranalysis haben wir im Kurs die Richtungsableitung behandelt, bzw. den Gradienten hergeleitet. Dafür haben wir Punkte auf einer Geraden über die Funktion $\begin{eqnarray} \tilde\phi(\epsilon)=\phi(\vec{x} +\epsilon \vec{a} ) \end{eqnarray}$ . Anschließend haben wir diese Funktion abgeleitet und die Ableitung sollte später für $\begin{eqnarray} \epsilon=0 \end{eqnarray}$ ausgewertet werden. Die Ableitung schreibt sich als $\begin{eqnarray} \tilde\phi'(\epsilon=0)=\frac{d}{d\epsilon}\phi(\vec{x} +\epsilon \vec{a} ) \end{eqnarray}$ ausgewertet in $\begin{eqnarray} \epsilon=0 \end{eqnarray}$ . Nun haben wir den Ausdruck in der Klammer substituiert mit $\begin{eqnarray} \vec{x} +\epsilon \vec{a}=\vec{\tilde x} \end{eqnarray}$ und die Ableitung neu geschrieben als: $\begin{eqnarray} \tilde\phi'(\epsilon=0)=\frac{d}{d\epsilon}\phi(\vec{\tilde x} ) \end{eqnarray}$ Bis hier ist alles klar. Jetzt kommt der Part den ich nicht verstehe: Eigentlich leiten wir das ganze nach Epsilon ab. Mit der Argumentation "Kettenregel" schreiben wir aber nun: $\begin{eqnarray} \frac{d}{d\epsilon}\phi(\vec{\tilde x} )=\frac{\partial\phi}{\partial \tilde x_1} \frac{d\tilde x_1}{d\epsilon}+\frac{\partial\phi}{\partial \tilde x_2} \frac{d\tilde x_2}{d\epsilon} +\frac{\partial\phi}{\partial \tilde x_3} \frac{d\tilde x_3}{d\epsilon} \end{eqnarray}$ Woher kommt die Ableitung von Phi nach den $\begin{eqnarray} \tilde x_i \end{eqnarray}$ ? Da steig ich nicht hinter. Vor allem nicht mit dem Argument "Kettenregel". Wenn ich ja anfangs schreibe, dass ich nach Epsilon ableiten will, macht es für mich wenig Sinn, dann nach den xi abzuleiten und das mit der Ableitung nach Epsilon zu multiplizieren... Kann mir jemand auf die Sprünge helfen? Im Skript wird etwas anders vorgegangen und irgendwann mit Taylor-Reihen gearbeitet.
04.03.2018, 23:57	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Civing, das ist ganz einfach die mehrdimensionale Kettenregel: In einfachster Form $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial t}f(x(t),y(t))=f_x(x(t),y(t))\cdot x'(t)+f_y(x(t),y(t))\cdot y'(t) \end{eqnarray}$ . Entscheidend im Vergleich zum Eindimensionalen ist, dass die beiden Ableitungen addiert werden. Z.B. wenn du eine Funktion f = f(x,y) hast und eine Koordinatentransformation machen willst gemäß x=2s-3t und y=3s+2t (etwa um eine DGL zu lösen), dann gilt $\begin{eqnarray} \frac{\partial}{\partial s}f(2s-3t,3s+2t) = 2f_x(2s-3t,3s+2t)+3f_y(2s-3t,3s+2t) \end{eqnarray}$ . LG sibelius84

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