A^2=LR und A^2*x=b ohne A^2 explizit zu berechnen

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knuddel1812 Auf diesen Beitrag antworten »
A^2=LR und A^2*x=b ohne A^2 explizit zu berechnen
Meine Frage:
Ich habe eine Matrix , die schon in eine untere Dreiecksmatrix und eine obere Dreiecksmatrix aufgeteilt worden ist, also gilt: . Nun würde ich gerne folgendes Gleichungssystem lösen, ohne dabei explizit zu bestimmen: .

Meine Ideen:
Es gilt und somit . Schritt für Schritt rechne ich , usw. bis ich bekomme. Gibt es denn eine elegantere Lösung? Wenn ich beispielsweise die Gleichungen bzw. so berechne, würde das sehr rechenintensiv werden. In der vorliegenden Klausuraufgabe steht explizit, dass man , und nicht berechnen darf!
system-agent Auf diesen Beitrag antworten »

Was findest Du denn daran nicht elegant?

Der wichtige Punkt an der ganzen Geschichte ist der Folgende: Hast Du mal deine Matrix gemäss zerlegt, dann ist das Lösen eines linearen Gleichungssystems effizient möglich [Vorwärts- und Rückwärtssubstitution!], sprich in Zeit hast Du die Lösung berechnet, wenn die Matrizengrösse bezeichnet. Ausserdem ist der Speicheraufwand für die Speicherung von und nicht grösser als der Speicheraufwand um abzuspeichern [man speicher es quasi innerhalb von ].

Würdest Du nun oder noch höhere Potenzen berechnen, würde man zunächst das Matrixquadrat ausrechnen [Aufwand ] und anschliessend wieder die Zerlegung [Aufwand ] und erhälst einen Gesamtaufwand .
Mit der sukzessiven Berechnung der Lösung durch ergibt sich ein Aufwand , was deutlich effizienter ist.

Entsprechendes gilt dann für höhere Potenzen.

Fairerweise sei angemerkt, dass man ein wirklich grosses Gleichungssystem eher iterativ lösen würde und dass die typischen grossen Gleichungssysteme zudem noch dünn besetzt sind.
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