Extremwertaufgabe: Kegel in Halbkugel |
| 05.03.2018, 21:19 | Lepide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Extremwertaufgabe: Kegel in Halbkugel Hallo, ich habe ein Problem mit folgender Extremwertaufgabe: In einer Halbkugel mit dem Radius R = 20cm soll ein Kegel eingesetzt werden mit maximalem Volumen. Welche Maße besitzt der Kegel? Ich verstehe nicht wie ich dort die Nebenbedingung oder Zielfunktion herleiten kann. Meine Ideen: Als Hauptbedingung habe ich bereits Muss der Rest mit dem Höhensatz des Euklid berechnet werden oder gibt es eine andere Methode? EDIT: Latexcode verbessert (klarsoweit) |
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| 05.03.2018, 21:40 | suh dude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hey, die Halbkugel hat die selbe Höhe wie auch Radius. Das heißt, wenn du da einen Kegel reinpacken willst, ist die maximale Höhe der Radius der Halbkugel sowie die maximale Breite der Durchmesser der Halbkugel (also von der Kreisgrundfläche -> 2 * r). Hilft das schon mal weiter? Die Zielfunktion ist schon mal richtig, mit obigen Angaben musst du jetzt noch eine weitere Bedingung bilden. Beste Grüße |
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| 05.03.2018, 21:54 | Lepide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke für die Antwort! Das habe ich mir auch schon gedacht aber wirklich helfen tut mir das für die Bildung einer weiteren Bedingung nicht. Interessiert mich überhaupt die Halbkugel bei der weiteren Berechnung oder muss ich nur beachten, dass der Kegel 20cm hoch ist. |
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| 05.03.2018, 21:57 | Suh dude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Naja, die Höhe ist ja nicht überall gleich bei der Halbkugel. Zudem weißt du ja auch nicht, welche Höhe mit welchem Grundflächendurchmesser das maximale Volumen bilden. |
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| 05.03.2018, 22:01 | Suh dude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit jedem Radius ändert sich die Höhe, logischerweise. Das heißt du solltest irgendwie versuchen, die Höhe in deiner Zielfunktion umzuschreiben. Jetzt musst du gucken, wie der Durchmesser der Grundfläche des Kegels mit der Höhe des Kegels zusammenhängt, wenn du bedenkst das der maximale Durchmesser sowieso die maximale Höhe R ist. |
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| 05.03.2018, 22:13 | Suh dude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Der Höhensatz des Euklids ist hier die richtige Anlaufstelle. Jetzt solltest du nur noch schauen, wie du diesen zu deinen Gunsten umschreiben kannst, das sich nur noch eine Abhängigkeit von r Bzw p in deiner Zielfunktion befinden. Reicht das an Hilfe ? 
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| 05.03.2018, 22:39 | Lepide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich weiß, was du meinst und danke dir für deine Hilfe 
Aber ein bisschen langsam bin ich gerade noch im Kopf, sorry.Also 20² = p*q, richtig? Kann ich nun einfach sagen p = r des Kegels? Weil dann wäre es doch 20² = r*r. Stelle ich das um dann habe ich 20² / r = r. Und das kann ich so in meine Formel für h einsetzen? Tut mir leid, wenn das völliger Mist ist 
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| 05.03.2018, 22:51 | Lepide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein, moment. Das macht keinen Sinn. Dann wäre h immer gleich r 
Aber h befindet sich ja in der Mitte des Kegels und daher ist p = q. Was verstehe ich falsch? |
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| 05.03.2018, 22:55 | Suh dude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Warum versteifst du dich darauf, dass die Höhe des Kegels 20 cm sein muss? Sie kann doch auch kleiner sein, was wie gesagt abhängig von der Position Bzw dem Radius der Grundfläche des Kegels ist. Wozu ist dem im Höhensatz p Äquivalent? Wie kannst du dem entsprechend denn q umformen? Versuch erstmal r und h keinen Wert zuzuordnen, sondern h durch r zu beschreiben und somit eine Volumenfunktion in Abhängigkeit von r zu haben, von welcher du dann das Maximum bestimmst. Ich gebe dir einen Tipp: q = r (also der noch unbestimmte Radius der Grundfläche des Kegels), sowie das p + q = 20 cm sein müssen. Jetzt musst du nur noch p irgendwie unformulueren, bitte mit Klammern, und dann in h = Wurzel aus (p*q) einsetzen. Dann das für h in die Zielfunktion reinhauen und schon hast du eine Funktion mit einer Abhängigkeit von nur r. |
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| 05.03.2018, 23:37 | Lepide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also p+q = 20 und h = Wurzel (p*q). q = r Also: p+r = 20 --> 20-r = p h = Wurzel(p*r) --> h =Wurzel([20-r] * r) Das in meine Zielfunktion: V = 1/3 * Pi * r² * Wurzel([20-r] * r) Soweit richtig? |
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| 06.03.2018, 07:20 | Suh dude | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sieht super aus! |
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| 06.03.2018, 08:56 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich nehme mal an, daß die Spitze des Kegels im Mittelpunkt der Kreisfläche der Halbkugel liegt. Die Höhe des Kegels steht auf dieser senkrecht. Wenn ja, ist die Zielfunktion falsch. Für die Anwendung des Höhensatzes braucht man ein rechtwinkliges Dreieck. Wo soll das sein? Bitte mach mal eine Skizze. |
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| 06.03.2018, 15:49 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wohl damit die Aufgabe interessant wird. Deswegen nehmen viele an, dass das mit zu den Bedingungen dazugehört.
Tatsächlich steht aber nichts dergleichen im Eröffnungsbeitrag, und ohne diese Forderung ist der Kegel mit Grundkreisfläche = Halbkugelboden und Höhe = Halbkugelradius offenkundig volumenmäßig nicht zu toppen. Tja, Lepide ist am Zug. |
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| 06.03.2018, 17:05 | Lepide | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also in der Aufgabe ist bereits eine Skizze und die zeigt wie die Spitze des Kegels auf die Kreisgrundfläche zeigt. Aber macht das einen Unterschied? Wenn ja, welchen? Ich habe mir gedacht Höhe h des Kegels die Seite s und der Radius r der Halbkugel bilden das rechtwinklige Dreieck. |
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| 06.03.2018, 18:15 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das ist ja schön. Die Seite s entspricht dem Radius R der Halbkugel. Somit kannst du die Größen h, r und R mit dem Satz des Pythagoras in Beziehung bringen.
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| 06.03.2018, 18:35 | Leopold | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
5. März 2018, 21.19 Uhr, bis 6. März 2018, 17.05 Uhr, sind 19 Stunden und 46 Minuten. So lange hat es gedauert, die wesentlichen Voraussetzungen der Aufgabe mitzuteilen. Und ohne klarsoweits Hellsichtigkeit und HALs Insistieren wüßten wir es wahrscheinlich immer noch nicht. Jaja ... |
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| 08.03.2018, 08:43 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Jetzt ist mehr als ein Tag vergangen und wir bekommen keine Rückmeldung, wie es weitergegangen ist. 
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