Hausdorff in kpt Raum

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Ted321 Auf diesen Beitrag antworten »
Hausdorff in kpt Raum
Meine Frage:
Guten Tag. Ich studiere im 3. Semester Mathe und habe eine Frage zu Analysis 1.
Wir haben die Hausdorff-Eigenschaft für kpt Räume so definiert:
Sei (X,d) ein kompakter metrischer Raum. Dann gilt:

Wenn ich jetzt das Intervall [0,1] in R nehme, dann ist das ja kompakt.
Aber für (zum Beispiel) ist die Kugel um jeden Punkt in [0,1] ja schon deutlich größer als das Intervall selbst.

Wo liegt hier also mein denkfehler?




Meine Ideen:
Ich hab natürlich schon versucht zu googlen, aber irgendwie definieren die meisten Leute Hausdorff etwas anders. In dem Beweis aus dem Skript wird lediglich davon ausgegangen, dass es Punkte in X gibt, die nicht in der Vereinigung der Kugeln liegt, nicht jedoch, dass die Kugeln Punkte außerhalb von X haben könnten.
Guppi12 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

das ist keine Definition der Hausdorff Eigenschaft, sondern die Definition von „totalbeschränkt“ (oder präkompakt).
Der Satz besagt nun, dass aus Kompaktheit die Totalbeschränktheit folgt.

Wenn du als metrischen Raum das Interval betrachtest liegen per Definition nur Elemente aus diesem Intervall in jeglichen Kugeln, da diese im metrischen Raum definiert sind als .
Wenn du jetzt setzt, siehst du, wo das hinführt.
Ted321 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antwort, irgendwie steh ich beim Thema metrische Räume manchmal etwas auf dem Schlauch, aber das leuchtet ein. Und wer weiß warum mein Prof das Hausdorff genannt hat.
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Kann es sein, dass Hausdorff es bewiesen/entdeckt hat? Ansonsten sehr unpassende Bezeichnung.
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