Konvergenz einer Reihe

09.03.2018, 03:15	Thorstenss	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz einer Reihe Meine Frage: Hallo, ich hab folgende aufgabe gegeben: Bestimmen Sie alle x aus R für welche die Reihe konvergiert. $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=1}^{\infty} (-1)^n \frac{sin^2(\frac{1}{n+1} )}{n+1}(x-\frac{\pi}{3} )^n \end{eqnarray}$ Meine Ideen: $\begin{eqnarray} R =\lim_{n \to \infty } \|\frac{\frac{\sin^2(\frac{1}{n+1} ) }{n+1} }{\frac{\sin^2(\frac{1}{n+2} ) }{n+2} } \| = \lim_{n \to \infty } \|\frac{\sin^2(\frac{1}{n+1} )(n+2) }{\sin^2(\frac{1}{n+2})(n+1)} \| \end{eqnarray}$ weiter weiss ich nicht
09.03.2018, 09:08	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz einer Reihe Nutze die bekannte Eigenschaft, daß $\begin{eqnarray} \lim_{m \to \infty } m \cdot sin(\frac 1 m) = 1 \end{eqnarray}$ ist. Für die Anwendung auf $\begin{eqnarray} \lim_{n \to \infty } \|\frac{\sin^2(\frac{1}{n+1} )(n+2) }{\sin^2(\frac{1}{n+2})(n+1)} \| \end{eqnarray}$ mußt du noch etwas umformen: $\begin{eqnarray} \frac{\sin^2(\frac{1}{n+1} )(n+2) }{\sin^2(\frac{1}{n+2})(n+1)} = \frac{(n+1)^2 \cdot \sin^2(\frac{1}{n+1} )(n+2)^3 }{(n+2)^2 \cdot \sin^2(\frac{1}{n+2})(n+1)^3} \end{eqnarray}$

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