Arbeitsintegral mithilfe des Potentials berechnen

Neue Frage »

Matherialist Auf diesen Beitrag antworten »
Arbeitsintegral mithilfe des Potentials berechnen
Guten Tag,
Ich habe ein Vektorfeld mit

und die Kurve mit

gegeben.

Nun soll ich zeigen, dass ein Potential besitzt, dieses Potential berechnen und anschließend das Arbeitsintegral
(1. direkt, / 2. mit Hilfe des Potentials) berechnen.

Meine Ansätze:

Leider habe ich keine Idee, wie ich zeigen kann, dass ein Potential besitzt. Dieses konnte ich aber berechnen.
Mein Potential ist die Funktion: (Ist dieses richtig? Ich kann bei Bedarf ausführlich erklären, wie ich darauf gekommen bin).

Das Arbeitsintegral habe ich direkt berechnet. Da die Stammfunktion in jedem Teil eine Konstante * cos(etwas *t) hatte hat sich von nach alles ausgeglichen und ich hatte als Ergebnis

rausbekommen.

Wie kann ich das Arbeitsintegral nun mithilfe meines Potentials berechnen?

Viele Grüße

Matherialist
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hi!

Indem du die Funktion g bestimmt hast, hast du schon gezeigt, dass f ein Potential besitzt. (Das folgt dann aus .)
"Zeigen, dass das Vektorfeld ein Potential besitzt" meint klassischerweise, nachzurechnen, dass die Integrabilitätsbedingungen erfüllt sind. Bei einem dreidimensionalen Vektorfeld schreiben sich diese kompakt einfach als . Wenn man ein Potenzial explizit bestimmt und dann wie oben argumentiert, ist es aber auch gezeigt.

Die Berechnung läuft dann genauso wie im Eindimensionalen: Ist die skalarwertige Funktion g eine Stammfunktion des Feldes f, und integrieren wir über , so gilt unter geeigneten Voraussetzungen

.

Also einfach Anfangs- und Endpunkt der Kurve einsetzen und die Ergebnisse voneinander subtrahieren.

LG
sibelius84
Matherialist Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,
Danke für die Antwort.
Aber da habe ich noch eine Frage.
Es hat zwar in dem Fall geklappt. Aber irgendwie schaut es mir nicht zuverlässig aus. Vor allem, weil mein g kaum Ähnlichkeit mit meinen Stammfunktionen in der direkten Methode. Vielleicht liegt es aber auch daran, dass in der direkten Methode sich die ganzen cos/sin gegenseitig gecanceled haben und die Funktion daher so anders aussah.

Vielen Dank. Hab nicht gedacht, dass es so einfach ist.

Ich habe nun aber nach genauem Anschauen meines Potentials noch eine Frage:

In einem Video habe ich folgenden Ansatz gesehen:


war jedoch von ganz g Abhängig


War die Annahme nur möglich, weil nicht von oder abhängt?
Wenn z.B. wäre. Dann müsste ich in die Berechnung von mit berücksichten?
Ist das korrekt?

-Matherialist
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie hattest du denn ganz am Anfang, vor deinem ersten Post das Potential berechnet?
Matherialsit Auf diesen Beitrag antworten »

Genauso, wie hier erleutert. Mir ist aber erst nachträglich meine Frage aufgefallen.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du ein Feld f hast und dazu ein Potential s bestimmen willst, bedeutet das ja, dass gelten soll:

.

Also kann man die gesuchte Funktion s im Prinzip schon auf drei Weisen bekommen: Indem man f_1 nach x integriert, indem man f_2 nach y integriert, oder indem man f_3 nach z integriert. Nur es kommt eben immer eine von den beiden anderen Variablen abhängige 'Konstante' dazu.

Bei einfachen Funktionen kann man auch schon sehen, wie der Hase läuft. Beim Feld (yz,xz,xy) etwa ist es nicht schwer zu sehen, dass s(x,y,z)=xyz ein Potential ist. Man integriert nach einer Komponente und schon hat man's. Für die Abbildung (x,2y,4z) ist ein Potential; dafür muss man aber schon einzeln integrieren. Denn es ist etwa (alles, was ausschließlich von y und z abhängt, wäre ja bei der partiellen Ableitung nach x weggefallen!).

Und schließlich gibt es dann noch Beispiele - selbst im Zweidimensionalen schon anspruchsvoll - wie

(Dipolströmung).

Hier ist die Frage, ob es nicht einfacher ist, eine Stammfunktion durch Integration entlang achsenparalleler Geraden zu finden anstatt durch direkte Integration.
 
 
Matherialist Auf diesen Beitrag antworten »

Ist mein Potential eigentlich richtig?
Ich habe ja nach x integriert, dann den Rest mithilfe von Vergleichen gefunden.
Meine frage ist aber hier:


Ist der Schritt: so richtig?
Wäre dieser Schritt auch richtig, wenn wäre? Oder müsste ich dann

zum weiterrechnen nehmen?
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »