Sym.Bilin.Form Ortogonalbasis bestimmen |
| 10.03.2018, 11:20 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Sym.Bilin.Form Ortogonalbasis bestimmen Ich weiß was eine Symmetrische Bilinearform ist und wie das gegebene Skalarprodukt funktioniert. Ich muss ja eine Ortogonalbasis bestimmen, es gibt nicht nur eine sondern unendliche Ortogonalbasen. Die Matrix A brauche Ich ja für mein Skalarprodukt. Meine Ideen: Ich weiß das Ich Gram-Schmidt benutzen muss, das ist ja trivial. Nur bin Ich mir nicht sicher, wie Ich Anfange. Soll Ich einfach eine Basis wählen von 3 Lin.unabh. Vektoren, somit Ich mit Gram-Schmidt die Orthogonalbasis bestimme? Oder muss Ich durch die Matrix A 3 Lin.unabh. Vektoren bestimmen? |
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| 10.03.2018, 17:05 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hi nochmal 
Es ist eine Möglichkeit für diese Aufgabe, Gram-Schmidt zu benutzen - aber nicht festgelegt und schon gar nicht selbstverständlich 
Gesucht sind Vektoren b1, b2, b3 mit , falls i=j, und 0 sonst. Setzen wir doch mal b1:=e1. (Häufig muss bei solchen Aufgaben eine OrthoNORMALbasis angegeben werden. Dann würde man sehen bzw. nachrechnen: Damit gilt b1^T·A·b1 = 1, also könnten wir den schon so beibehalten. Hier ist nur orthoGONAL gefragt und die erste Wahl daher tatsächlich völlig frei und beliebig.) Sodann zu b2. Der muss so gewählt werden, dass er linear unabhängig von b1 ist, und dass b1^T·A·b2 = 0 gilt; dies rechnet man konkret aus zu . Wählen wir doch als . (edit: der erfüllt die Gleichung nicht, doki hat Recht, nehmen wir besser (1,1,1)
)Für b3 stellt man nun direkt zwei Gleichungen auf, da ja schon zwei vorhergehende Vektoren vorliegen, auf denen b3 senkrecht stehen soll. So findet man noch einen geeigneten Vektor b3, und so hat man sich mit gutem Handwerk eine Orthogonalbasis zusammengezimmert, ohne ein Gramm Schmitt.
LG sibelius84 |
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| 10.03.2018, 18:24 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey vielen Dank !!! Dein Verfahren ist echt effektiv. Also b_1=e_1 hab ich verstanden mit (b_1)^t*A'*b_1=1 Für b_2 habe ich es genauso wie du gemacht, aber wenn ich deinen Vektor (-1,1,0) einsetze bekomme Ich 1 statt 0 raus, weil bei dir steht, die Gleichung muss =0 sein oder ? |
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| 10.03.2018, 20:44 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hey nochmal, nach deinem Verfahren habe Ich die Basis : B:{ (1,0,0) , (1,1,1) , (13,1,5) } <b1,b1>=1 <b1,b2>=0 <b1,b3>=0 <b2,b3>=0 Bist du selber Meinung ? |
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| 11.03.2018, 00:35 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
<b2,b3>=0 habe ich jetzt nicht nachgerechnet, aber das traue ich dir schon zu, sieht plausibel aus
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