Matrizen A=B^2 |
10.03.2018, 11:32 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Matrizen A=B^2 Meine Allgemeine Frage wäre, ob es ein Trick oder eine Vereinfachung gibt, durch die Informationen die gegeben snd? Meine Ideen: A ist symmetrisch und positiv Definit. D.h. die Matrix A ist diagonalisierbar und besteht aus Eigenvektoren aus einer Orthonormalbasis. Es gibt ja dann eine Matrix S somit D=S^t*A*S äquivalent zu A=S^-1*A*(S^t)^-1=B^2 Mehr weiß Ich nicht :/ |
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10.03.2018, 16:56 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hallo doki, als erstes würde ich mir überlegen, dass für eine Diagonalmatrix mit Diagonalelementen größergleich Null eine reelle Quadratwurzel existiert, also etwa zu erfüllt die Matrix , dass B² = A. Du sagst jetzt: Es gilt . Das würde ich umschreiben zu , denn uns interessiert ja, was mit A ist. Nach Voraussetzung wissen wir, dass A positiv definit ist. Wie muss dann also D aussehen? Eine letzte Zutat zum Beweis fehlt noch - nämlich diese: . LG sibelius84 |
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10.03.2018, 18:04 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Alles klar Wenn A positiv Definit ist, so hat die Diagonalmatrix positive Eigenwerte. Da A Symmetrisch ist können wir ja A=SDS^(-1) =SDS^(t) schreiben ? t= transponiert D=diag(a1,....,an) alle Eigenwerte sind größer Null und es existiert auch die reale Quadratwurzel. B^2=(SDS^t)^2=S*D^(2)*S^(t). Wäre das so in Ordnung? |
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11.03.2018, 00:40 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ist D jetzt die Diagonalisierung von A, oder deren Quadratwurzel? |
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11.03.2018, 11:13 | doki1994 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hmm D sollte die Diagonalmatrix sein von A. |
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12.03.2018, 15:48 | sibelius84 | Auf diesen Beitrag antworten » |
Dann macht das im Detail leider noch keinen Sinn, was du geschrieben hast. Du hast A diagonalisiert und das Ergebnis D dann quadriert. Damit bestimmst du bestenfalls ein B, sodass A²=B gilt - aber nicht wie gefordert ein B, sodass A=B² gilt. Um einen konkreten Tipp zu geben: Es fehlt noch deine Anwendung der Tatsache "Diagonalmatrizen mit nichtnegativen Diagonalelementen besitzen eine Quadratwurzel": Zu D existiert E mit E²=D. |
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