Matrizen A=B^2

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doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »
Matrizen A=B^2
Meine Frage:
Meine Allgemeine Frage wäre, ob es ein Trick oder eine Vereinfachung gibt, durch die Informationen die gegeben snd?

Meine Ideen:
A ist symmetrisch und positiv Definit. D.h. die Matrix A ist diagonalisierbar und besteht aus Eigenvektoren aus einer Orthonormalbasis.
Es gibt ja dann eine Matrix S somit D=S^t*A*S äquivalent zu A=S^-1*A*(S^t)^-1=B^2
Mehr weiß Ich nicht :/
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo doki,

als erstes würde ich mir überlegen, dass für eine Diagonalmatrix mit Diagonalelementen größergleich Null eine reelle Quadratwurzel existiert, also etwa zu

erfüllt die Matrix , dass B² = A.

Du sagst jetzt: Es gilt . Das würde ich umschreiben zu , denn uns interessiert ja, was mit A ist. Nach Voraussetzung wissen wir, dass A positiv definit ist. Wie muss dann also D aussehen?

Eine letzte Zutat zum Beweis fehlt noch - nämlich diese:
.

LG
sibelius84
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar smile

Wenn A positiv Definit ist, so hat die Diagonalmatrix positive Eigenwerte.
Da A Symmetrisch ist können wir ja A=SDS^(-1) =SDS^(t) schreiben ?
t= transponiert
D=diag(a1,....,an) alle Eigenwerte sind größer Null und es existiert auch die reale Quadratwurzel.

B^2=(SDS^t)^2=S*D^(2)*S^(t).

Wäre das so in Ordnung?
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Ist D jetzt die Diagonalisierung von A, oder deren Quadratwurzel? verwirrt
doki1994 Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm D sollte die Diagonalmatrix sein von A.
sibelius84 Auf diesen Beitrag antworten »

Dann macht das im Detail leider noch keinen Sinn, was du geschrieben hast. Du hast A diagonalisiert und das Ergebnis D dann quadriert. Damit bestimmst du bestenfalls ein B, sodass A²=B gilt - aber nicht wie gefordert ein B, sodass A=B² gilt.

Um einen konkreten Tipp zu geben: Es fehlt noch deine Anwendung der Tatsache "Diagonalmatrizen mit nichtnegativen Diagonalelementen besitzen eine Quadratwurzel": Zu D existiert E mit E²=D.
 
 
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