Integration einer Parameter-Funktion [war: Integral von einer Formel mit zwei Variabeln]

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Spitznahme102890 Auf diesen Beitrag antworten »
Integration einer Parameter-Funktion [war: Integral von einer Formel mit zwei Variabeln]
Meine Frage:
Wir haben morgen einen Mathematik-test über Integral. Bei den Übungsaufgaben bin ich über folgende Aufgabe gestolpert und weiss nicht mehr weiter:

Parabel y=a*x^2-a, mit a > 0. In den Nullstellen der Parabel werden die Normalen errichtet. Die beiden Normalen schliessen zusammen mit der Parabel eine Fläche ein. Für welche Werte von a ist diese Fläche 7/3?

Als Information: Wir dürfen unseren programmierbaren Taschenrechner verwenden. Der kann also Integral ausrechen und Gleichungen auflösen.

Meine Ideen:
Die Nullstellen sind ja die Schnittstelle der Parabel mit der Achse. Die finde ich heraus, indem ich folgendes mache:

solve(a*x^2-a=0,x) -> X=-1 oder 1 oder a = 0

Die Normalen(=Rechtwinklig)sind nun entweder im 90° Winkel zu der X-Achse oder zu der Parabel. Bei Zweiterem müsste ich die Ableitung an -1 und 1 machen, um die Steigung herauszufinden.

Mein Problem besteht zum einen darin, dass ich a) mir die Situation mit den Normalen nicht vorstellen kann (und der Rechner bei Eingabe der Formel nichts anzeigt) und b)dass ich nicht weiss, was ich genau mit diesem 'a' anstellen muss.
Suh dude Auf diesen Beitrag antworten »

Das a=0 ist, kannst du ausschließen, da du a als größer Null definiert hast.

Die Normale ist die Gerade, die die Tangente in einem Punkt senkrecht schneidet. Das heißt, ja, Ableitung bestimmen und für die Nullstellen die Steigung ermitteln. Die Steigung der Normalen in diesem Punkt ist dann .

Das a ist einfach eine konstante, das heißt, behandle es wie eine reelle Zahl. Wenn du dir das dann nicht vorstellen kannst wie das aussehen soll, zeichne dir die gegebene Situation. Für die Integralberechnung hilft sowas ungemein!

Beste Grüße
Sub dude
Spitznahme102890 Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich kann bei mir im Rechner die Ableitung an einem Punkt machen.

das sieht dann folgendermassen aus:
[attach]46684[/attach]

Das gibt mir dann 2*a aus, was auch stimmt. Dann muss ich aber noch die Normalen bestimmen, und dort kapiere ich es nicht mehr.

In den Lösungen wird es folgendermassen beschrieben:

Nachdem wir die Schnittpunkte haben, rechnen wir y'(x) aus, was +-2a ergibt. Das führt dann irgendwie dazu, dass wir y= +-(1/(2a))*x+1/(2*a) erhalten. -> Wie komme ich auf das?

Später wird das dann in folgende Integralrechnung gepackt:



Mir fehlt dabei aber das '-a' aus der Originalformel.

Sorry wenn ich mich gerade etwas dämlich anstelle, aber ich find's super unübersichtlich ^^
Suh dude Auf diesen Beitrag antworten »

Hi,

Wie ich bereits beschrieben habe, ist die Steigung der Normalen in einem Punkt der negative Kehrwert der Tangentensteigung in diesem Punkt. Also kannst du ja über die Ableitung an einem Punkt ziemlich einfach die Steigung der Normalen berechnen. Wie du dann aus gegebenem Punkt und der Steigung eine Geradengleichung aufstellst ist dir klar, oder?

Wenn du nun zb die Normalengleichung im Punkt -1 bestimmt hast, dann ist die Bestimmung der Normalengleichung in 1 nicht mehr so schwer. Was alles etwas einfacher macht ist die Symmetrieeigenschaft der gegebenen Funktion, sie ist nämlich Achsensymmetrisch zur y-Achse. Daraus kannst du schließen, dass die Tangenten an -1 und 1 jeweils den selben y-Achsenabschnitt besitzen, diese sich nur im Vorzeichen der Steigung unterscheiden. Da die Steigung der Normalen der negative Kehrwert der Steigung in dem Punkt ist, unterscheiden sich dementsprechend die Normalengleichungen auch nur im Vorzeichen ihrer Steigung (an den Punkten 1;-1), darum steht in der Lösungen y=+-...

Soweit verständlich ?

Beste Grüße und einen schönen Abend
Suh dude
klarsoweit Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe mal das Thema geändert. Formeln kann man nicht integrieren, sondern nur Funktionen. smile
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