Komplizierte Gleichung analytisch lösen

12.03.2018, 21:48

EverydayMath

Komplizierte Gleichung analytisch lösen

Meine Frage:
Hey Leute,

ich hoffe mir kann jemand hier weiterhelfen. Ist es möglich für folgende Gleichung Tp analytisch zu bestimmen?
$\begin{eqnarray*} \alpha = 1- (\frac{e^{\lambda \delta}-1}{e^{\lambda Tp} -1})^{1/C}*\frac{C*(1-e^{-\lambda Tp})}{\lambda \delta(1-(\frac{e^{\lambda \delta}-1}{e^{\lambda Tp} -1})^{1/C})} \end{eqnarray*}$
alpha, lambda und C sind bekannte Konstanten.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!

Meine Ideen:
Für C=1 konnte ich Tp analytisch bestimmen, indem ich nach ein paar Umformungen die Gleichung in Quadratische Form gebracht habe. Für C ungleich 1 geht das jedoch nicht. Die Potenz 1/C ist das Problem. Kann man Tp für C ungleich 1 überhaupt analytisch bestimmen oder geht das nur numerisch? Bin über jede Hilfe froh!

12.03.2018, 23:27

mYthos

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So, wie die Gleichung da steht, kann durch $\begin{eqnarray*} 1- (\frac{e^{\lambda \delta}-1}{e^{\lambda Tp} -1})^{1/C} \end{eqnarray*}$ gekürzt werden.
Der Rest ist, etwas umzuformen und logarithmieren.

mY+

13.03.2018, 13:43

EverydayMath

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Erstmal Danke für die Antwort.
Ich sehe nur leider nicht inwiefern mir das weiterhilft. Das mal zwischen den beiden Brüchen bezieht sich nur auf die zwei Brüche. Wenn ich durch besagtes Teile steht folgendes da:

$\begin{eqnarray*} \frac{\alpha}{1- (\frac{e^{\lambda \delta}-1}{e^{\lambda Tp} -1})^{1/C}} = \frac{1}{1- (\frac{e^{\lambda \delta}-1}{e^{\lambda Tp} -1})^{1/C}} - (\frac{e^{\lambda \delta}-1}{e^{\lambda Tp} -1})^{1/C} *\frac{C(1-e^{-\lambda Tp}}{\delta \lambda} \end{eqnarray*}$

Wirklich schlauer werde ich daraus nicht verwirrt

13.03.2018, 14:44

Steffen Bühler

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Ich sehe zusammen mit meinem CAS leider auch keine andere Möglichkeit als Näherungsverfahren.

Viele Grüße
Steffen

13.03.2018, 20:47

EverydayMath

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Vielen Dank für die Bestätigung Steffen.
Irgendeine Idee wie ich das Problem numerisch angehen könnte? Ein Problem hierbei ist sicherlich die Schätzung eines geeigneten Anfangswertes.

Grüße
dimi

14.03.2018, 09:50

Steffen Bühler

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Ich würde bei gegebenen Parametern zunächst den Graphen anschauen. Eventuell hat die Funktion für bestimmte Werte ja gar keine reelle Lösung. Ich hab beim Rumspielen jedenfalls noch keine grafisch hinbekommen.

Die Graphen waren aber alle monoton, somit würde ein Startwert wohl immer zum Ziel führen, wenn es eine Lösung gäbe. Du kannst ja mal beispielhafte Parameter mitteilen.

Oder, wenn kein allgemeiner Algorithmus gefragt ist, könnte man einfach im Graphen auf die Lösung "zoomen".

Viele Grüße
Steffen

17.03.2018, 16:08

EverydayMath

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Sorry für die späte Antwort, hab es erst jetzt gesehen!

Ich hab mir die Funktion ( Alpha über Tp) auch mal geplottet und bis auf ein kleines Intervall zu Beginn ist die Funktion wie du meintest monoton. Gesucht ist definitiv ein Algorithmus, da das Tp situationsbedingt berechnet werden muss, d.h. die Parameter variieren je nach Situation. Im folgenden mal Beispielwerte:

alpha = 0.01
delta= 0.1
lambda = 0,0989
C= 1,1298

Wie ich Tp nun numerisch berechnen kann ist die Frage verwirrt

Ich hoffe du hast da eine Idee.
Danke!

Grüße dimi

17.03.2018, 23:17

mYthos

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Zitat:

Original von EverydayMath
...
Ich sehe nur leider nicht inwiefern mir das weiterhilft. Das mal zwischen den beiden Brüchen bezieht sich nur auf die zwei Brüche. ..
...

Sorry, du hast recht, die 1 ganz vorne gehört ja nicht zu dem Bruch, irgendwie hatte ich da eine unsichtbare Klammer gesehen ..

mY+

18.03.2018, 17:57

Dopap

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bei diesen Werten erhalte ich $\begin{eqnarray*} T_p=6.891 \end{eqnarray*}$ als Nullstelle mit Vorzeichenwechsel.

Die Gleichung ist gespeichert und andere Werte sind kein Problem. Es kann nach jeder Variablen gelöst werden.

edit: mein TR stellt jede Gleichung auf ... =0 um und gabelt eine Nullstelle einfach ein. Findet er keine, dann fragt er schon mal: Extremum?
aber an der richtigen Stelle Augenzwinkern