Integral der Residualfläche zur oberen Schranke

13.03.2018, 13:27

punktlandung3

Integral der Residualfläche zur oberen Schranke

Meine Frage:
Herzliche Grüße,

ich möchte den Flächenschwerpunkt einer Fläche berechnen, die sich oberhalb einer bekannten Funktion befindet. Eigentlich ganz einfach, dachte ich mir, aber es kommt nur Unsinn heraus, der Schwerpunkt liegt außerhalb der Fläche.

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{A} \int_{0}^{b} \! s - f(x) \, dA = \frac{1}{A} \int_{0}^{b} \! s - \frac{x^{2}}{c} \, dA \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich bin mit dem Integral von s-f(x)dA geteilt durch Fläche A gestartet, habe dann das dA durch ein Flächenintegral dydx ersetzt und dann zu dxdx substituiert. Die Schranke s habe ich als Konstante behandelt, obwohl sie auch der größte Punkt der Funktion ist in y. Heraus kommt immer sx² minus etwas verdächtigem.

Die Schranke ist eigentlich auch mit der gleichen Funktion darstellbar. Wann kann ich für s die Funktion einsetzen, wann nicht? Kann ich y=f(x) direkt integrieren nach dy oder dA?

13.03.2018, 15:07

Huggy

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RE: Integral der Residualfläche zur oberen Schranke

Zitat:

Original von punktlandung3
$\begin{eqnarray*} \frac{1}{A} \int_{0}^{b} \! s - f(x) \, dA = \frac{1}{A} \int_{0}^{b} \! s - \frac{x^{2}}{c} \, dA \end{eqnarray*}$

Was ist das für eine merkwürdige Gleichung? Der Flächenschwerpunkt $\begin{eqnarray*} S=(x_S, y_S) \end{eqnarray*}$ wird so berechnet:

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac 1 A \iint\limits_A x dA \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_S=\frac 1 A \iint\limits_A y dA \end{eqnarray*}$

Die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ und die Schranke $\begin{eqnarray*} s \end{eqnarray*}$ gehen nur über die Fläche ein, über die zu integrieren ist. Im Übrigen kann ein Flächenschwerpunkt durchaus außerhalb der Fläche liegen. Betrachte z. B. mal einen Kreisring. Der Flächenschwerpunkt ist der Mittelpunkt und der liegt nicht in dem Ringbereich.

16.03.2018, 10:07

punktlandung3

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RE: Integral der Residualfläche zur oberen Schranke
Neuer Ansatz:

vielleicht habe ich einen Fehler bei der Umstellung gemacht, denn diese Form
$\begin{eqnarray*} y_{s} =\frac{1}{A} \int_{s}^{0} \! yA(y) \, dy \end{eqnarray*}$
taucht auch häufig auf. Das b stand für die obere Schranke und kommt aus einem Wert aus y.

$\begin{eqnarray*} y_{s} =\frac{1}{A} \int_{s}^{0} \! y(s-\sqrt{cy}) \, dy \end{eqnarray*}$ ,
mit $\begin{eqnarray*} A=\int_{0}^{s} \! s-\sqrt{cy} \, dy =\frac{s}{6} (s-4\sqrt{sc}) \end{eqnarray*}$
ergibt $\begin{eqnarray*} 6s\frac{\frac{s}{2}-\frac{2}{5}\sqrt{sc} }{s-4\sqrt{sc} } \end{eqnarray*}$ .

16.03.2018, 10:14

schildval

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RE: Integral der Residualfläche zur oberen Schranke
Du musst da das s nicht unbedingt mitnehmen, wenn du den Funktionsgraphen nach y umstellst.

16.03.2018, 13:42

Huggy

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RE: Integral der Residualfläche zur oberen Schranke
@ Punktlandung3

Mir ist deine Notation nach wie vor unverständlich. Ich mache einfach mal eine Beispielrechnung mit der üblichen Notation. Vielleicht hilft dir das weiter.

Gesucht ist der Flächenschwerpunkt einer Fläche, die von $\begin{eqnarray*} y=f(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y=s \end{eqnarray*}$ eingeschlossen wird. Als Beispiel nehme ich

$\begin{eqnarray*} f(x)=5-(x-2)^2 \quad s=1 \end{eqnarray*}$

Der äußere linke Rand der Fläche liegt dann bei $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ =0 und der äußere rechte Rand bei $\begin{eqnarray*} x_2=4 \end{eqnarray*}$ .

[attach]46702[/attach]

Die eingeschlossene Fläche ist

$\begin{eqnarray*} A=\int\limits_0^4 (f(x)-s) dx = \frac {15}{3} \end{eqnarray*}$

Für den Flächenschwerpunkt ergibt sich

$\begin{eqnarray*} x_S=\frac 1 A \iint\limits_A x dA=\frac 1 A \int\limits_0^4\int\limits_s^{f(x)}xdydx=\frac 1 A \int\limits_0^4 x(f(x)-s)dx=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y_S=\frac 1 A \iint\limits_A y dA =\frac 1 A\int\limits_0^4\int\limits_s^{f(x)}ydydx = \frac 1 A\int\limits_0^4 \frac 1 2(f(x)^2-s^2)dx=\frac {13}{5} \end{eqnarray*}$

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