Euler-Lagrange-Gleichung aus Lagrange-Gleichung bilden

13.03.2018, 15:09

Matherialist

Euler-Lagrange-Gleichung aus Lagrange-Gleichung bilden

Meine Frage:
Guten Tag,
Ich habe das Funktional
$\begin{eqnarray*} F(y) \int_{0}^{1} \! y'(x)^2 \, dx , y\in C^2 [0,1],y(0)=y(1)=0 \end{eqnarray*}$
dazu die Nebenbedingung:
$\begin{eqnarray*} G(y) = \int_{0}^{1} \! y(x)^2 \, dx =1 \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Als erste Aufgabe soll ich nun die Lagrangefunktion bestimmen.
Diese ist ja $\begin{eqnarray*} L(y,\lambda ) = F(y) - \lambda(G(y)-1) \end{eqnarray*}$

Nun soll ich die Euler-Lagrange Gleichung bestimmen.
In der Musterlösung wird kommentarlos einfach
$\begin{eqnarray*} -y'' - \lambda y = 0 , (y(0)=y(1)=0) \end{eqnarray*}$
angegeben.
Ich vermute, dass man die Gleichung einfach aus der Lagrange Gleichung leiten kann?

Wie kommt man auf diese Lösung?

Danke im Voraus

-Matherialist

13.03.2018, 15:32

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Euler Lagrange Gleichung aus Lagrange Gleichung bilden

Zitat:

Original von Matherialist
In der Musterlösung wird kommentarlos einfach
$\begin{eqnarray*} -y'' - \lambda y = 0 , (y(0)=y(1)=0) \end{eqnarray*}$
angegeben.
Ich vermute, dass man die Gleichung einfach aus der Lagrange Gleichung leiten kann?

Ja. Schreib die Lagrangegleichung einfach hin und führe die Ableitungen aus.

14.03.2018, 17:47

Matherialist

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Euler Lagrange Gleichung aus Lagrange Gleichung bilden
Welche genau?
Ich finde als Euler Lagrange Gleichung im Skript nur:
$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{d}{dy} f(x,y(x),y'(x))-\frac{d}{dx}\frac{d}{dz}f(x,y(x),y'(x)) \end{eqnarray*}$ Ich sehe aber nicht, wie ich diese einbringen kann.

14.03.2018, 19:16

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Euler Lagrange Gleichung aus Lagrange Gleichung bilden
Damit die Notation übersichtlicher wird, schreibe ich statt $\begin{eqnarray*} y(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y'(x) \end{eqnarray*}$ einfach $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y' \end{eqnarray*}$ . Wenn man ein Funktional der Form

$\begin{eqnarray*} \mathcal L(y)=\int\limits_a^b H(x,y,y')dx \end{eqnarray*}$

hat, so lautet die Euler-Lagrange-Gleichung

$\begin{eqnarray*} (*) \quad \frac {\partial H}{\partial y}-\frac {d}{dx} \left (\frac {\partial H}{\partial y'}\right )=0 \end{eqnarray*}$

Bei dir ist

$\begin{eqnarray*} H(x,y,y')=y'^2-\lambda y^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ entspricht deinem $\begin{eqnarray*} f, \end{eqnarray*}$ wobei ich nicht weiß, wie bei dir eine Ableitung nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ ins Spiel kommt. Wenn du mit diesem $\begin{eqnarray*} H \end{eqnarray*}$ die Ableitungen in (*) ausführst, steht die DGL deiner Musterlösung da.

19.03.2018, 11:59

Matherialist

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Euler Lagrange Gleichung aus Lagrange Gleichung bilden
Ich habe die Lösung mit $\begin{eqnarray*} H = y' ^2 - \lambda y^2 \end{eqnarray*}$ bekommen. Habe ich einen Fehler gemacht oder fast du dich vertippt?

19.03.2018, 12:31

Huggy

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Euler Lagrange Gleichung aus Lagrange Gleichung bilden
Ja, das war ein Druckfehler bei mir. Ich habe es auch oben korrigiert.

Neue Frage »

Antworten »

Euler-Lagrange-Gleichung aus Lagrange-Gleichung bilden

Verwandte Themen