Vollständige Induktion

13.03.2018, 19:15	Franz12	Auf diesen Beitrag antworten »
Vollständige Induktion Meine Frage: Hallo zusammen! Ich bitte sie un Hilfe, es ist sehr dringend, helfen sie mir diese Formel mithilfe der vollständiner Induktion zu beweisen) Danke im Voraus) Meine Ideen: Ich weiss, dass ich da n+1 einsetzen muss, aber wie?
13.03.2018, 20:03	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Ersetze eben jedes n durch n+1. Beachte auch $\begin{eqnarray} \binom{n+1}{k} = \binom n k + \binom{n}{k-1} \end{eqnarray}$ .
13.03.2018, 21:12	Franz12	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Vollständige Induktion Ich bin dazu gekommen, weiß jedoch nicht weiter... hilf mir bitte
13.03.2018, 23:37	sibelius84	Auf diesen Beitrag antworten »
(Induktions-)Voraussetzung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^n \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} = 2^n. \end{eqnarray}$ Behauptung: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n+1} \begin{pmatrix} n+1 \\ k \end{pmatrix} = 2^{n+1}. \end{eqnarray}$ Wenn du mit der linken Seite der Behauptung anfängst und dann als erstes die Formel verwendest, die klarsoweit gepostet hat, dann bekommst du evtl. eine Idee, wie du die Induktionsvoraussetzung einbringen kannst.
14.03.2018, 08:17	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
@Franz12: Noch ein Tipp (vielleicht steigert es ja deine Motivation): Vor der Anwendung "meiner" Formel ziehst du am besten noch den ersten und den letzten Summanden aus der Summe: $\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = 1 + \sum_{k=1}^{n} \binom{n+1}{k} + 1 \end{eqnarray}$ Dann mit der Formel die Summe aufteilen. Bei einer mußt du dann noch eine Indexverschiebung machen. Ich schiebe das mal in den Hochschulbereich.
14.03.2018, 16:20	Franz12	Auf diesen Beitrag antworten »
O Himmel... Ich verstehe überhaupt nichts... woher hast du die beiden 1 bekommen?
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14.03.2018, 16:56	Steffen Bühler	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \sum_{k=0}^{n+1} \binom{n+1}{k} = \binom{n+1}{0} + \sum_{k=1}^{n} \binom{n+1}{k} + \binom{n+1}{n+1} \end{eqnarray}$ (Siehe z.B. Wiki.) Viele Grüße Steffen
14.03.2018, 17:13	Franz12	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben folglich 2+Summe von 1 bis n (n+1 unten k)
14.03.2018, 22:06	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das ist in Worten, was Steffen Bühler als Formel geschrieben hat. Für den Binomialkoeffizienten kannst du die Formel anwenden, die ich weiter oben genannt habe.

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