Bestimme Galoisgruppe

14.03.2018, 18:42	Sven23	Auf diesen Beitrag antworten »
Bestimme Galoisgruppe Meine Frage: Nabend zusammen! Ich betrachte gerade folgende Aufgabe: Bestimmen Sie die Galoisgruppe $\begin{eqnarray} Gal(\mathbb Q (\alpha ):\mathbb Q ) \end{eqnarray}$ und alle Zwischenkörper. Mit $\begin{eqnarray} \alpha = \sqrt{2+\sqrt{2} } \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Meine Ideen: Das Minimalpolynom zu Alpha ist: $\begin{eqnarray} Minpol(\alpha)=f(X)=X^4 -4X^2 +2 \end{eqnarray}$ und dessen Nullstellen sind: $\begin{eqnarray} \alpha , -\alpha ,\beta = \sqrt{2-\sqrt{2}} ,-\beta \end{eqnarray}$ . Zusätzlich ist f irreduzibel nach Eisenstein mit p=2 und es gilt $\begin{eqnarray} \left[\mathbb Q (\alpha ) : \mathbb Q \right] = deg(f)=4 \end{eqnarray}$ Nun wollte ich die Automorphismen angeben: (hoffe dieser Versuch einer Tabelle ist lesbar) $\begin{eqnarray} \sigma \| \sigma (\alpha ) \| ord(\sigma ) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} ------------------------------------- \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Id_{\mathbb Q } \| \alpha \| 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma_{1} \| -\alpha \| 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma_{2} \| \beta \| 2 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \sigma_{3} \| -\beta \| 2 \end{eqnarray}$ Es gibt also 4 Automorphismen, wovon einer der Ordnung 1 ist und drei der Ordnung 2, somit wäre die Galoisgruppe nicht zyklisch und damit isomorph zur Kleinschen Vierergruppe. Liege ich da richtig oder habe ich Fehler gemacht? Stimmt die Aussage, dass wenn es sich um eine Galoiserweiterung vom Grad "n" handelt, diese aber keinen Automorphismus der Ordnung "n" besitzt, dass dann die Galoisgruppe nicht zyklisch ist?! Und Zwischenkörper ist nur $\begin{eqnarray} \mathbb Q (\sqrt{2}) \end{eqnarray}$ oder?
14.03.2018, 19:20	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich komme auf die zyklische Galoisgruppe $\begin{eqnarray} C_4 \end{eqnarray}$ . Wäre es die $\begin{eqnarray} V_4 \end{eqnarray}$ , so hätte sie 3 Untergruppen der Ordnung 2, dann müsste es 3 quadratische Teilkörper geben. 3.7 Korollar: Es sei $\begin{eqnarray} f(X) = X^4 + aX^2 + b \in \mathbb Q[X] \end{eqnarray}$ irreduzibel. Dann gilt: (i) Falls $\begin{eqnarray} b \in (\mathbb Q^)^2 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} Gal(f) \cong V_4 \end{eqnarray}$ (ii) Falls $\begin{eqnarray} b \notin (\mathbb Q^)^2 \end{eqnarray}$ , aber $\begin{eqnarray} b(a^2-4b)\in (\mathbb Q^)^2 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} Gal(f) \cong C_4 \end{eqnarray}$ (iii) Falls $\begin{eqnarray} b \notin (\mathbb Q^)^2 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} b(a^2-4b)\notin (\mathbb Q^)^2 \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} Gal(f)\cong D_4 \end{eqnarray*}$ Beweis: nicht trivial. Wer's nicht glaubt, google nach "Manuel Erdorf Galoisgruppen" und finde meine zur Zeit wertgeschätzteste Bachelorarbeit. Die Arbeit ist so gut, ich muss mir unbedingt mal seine Masterarbeit "Holomorphe Differentiale auf Torsionskörpern des Carlitz-Moduls" ansehen ... auch das lohnt sich ... endlich spricht mal wieder jemand über Riemann-Roch und andere interessante Sachen. (Hiermit gründe ich den Manuel Erdorf Fanclub, mit zur Zeit einem mir bekannten Mitglied )
14.03.2018, 22:02	Sven23	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt, das war dumm von mir, erst zu Behaupten die Galoisgruppe seihe isomorph zur Kleinschen Vierergruppe, aber dann zu sagen erst gibt nur einen quadratischen Teilkörper. Aber gibt es noch eine andere Möglichkeit alle Teilkörper zu bestimmen bzw. die Anzahl der Teilkörper, ohne die zugehörigen Automorphismen zu bestimmen ? Also ich möchte darauf hinaus das ich vielleicht vor ab schon Begründen kann, dass es hier nur den quadratischen Teilkörper &#8474 √2) gibt und somit schon folgen muss das die Galoisgruppe zyklisch ist und somit isomorph zu C4 !?
15.03.2018, 08:22	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn die Galoisgruppe die Ordnung 4 hat, kann es nur C4 oder V4 sein, denn andere Gruppen der Ordnung 4 gibt es nicht. C4 hat genau eine, V4 hat genau 3 Untergruppen der Ordnung 2.

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