Handelt es sich bei den rationalen Zahlen und dem arith. Mittelwert um eine Gruppe? |
16.03.2018, 11:18 | Samson17 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Handelt es sich bei den rationalen Zahlen und dem arith. Mittelwert um eine Gruppe? Hallo, es geht um Gruppen. Bisher ist es für mich kein Problem, jedoch stellt sich mir die Frage, ob die rationalen Zahlen Q mit dem arithmetischen Mittel (a+b)/2 eine Gruppe bilden. Die Verknüpfung ist assoziativ. Des Weiteren gibt es ein neutrales Element e=0. Zu jedem a aus der Gruppe gibt es ein inverses Element, sodass a+b = b+a=0 gilt. Und die Gruppe ist kommutativ, da a und b auch vertauscht werden können. Ist das soweit richtig? Meine Ideen: Die Verknüpfung ist assoziativ. Des Weiteren gibt es ein neutrales Element e=0. Zu jedem a aus der Gruppe gibt es ein inverses Element, sodass a+b = b+a=0 gilt. Und die Gruppe ist kommutativ, da a und b auch vertauscht werden können. Ist das soweit richtig? Ich stolpere etwas, da ich meiner Annahme bisher nur a+b betrachtet habe, also lediglich wie Q mit Addition behandelt habe. Beim arithm. Mittel ist es doch prinzipiell das Gleiche, nur dass ich dort noch den Faktor 1/2 habe , der ja an sich nichts ändert, oder? Viele Grüße :-) |
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16.03.2018, 11:28 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wieso ist das neutrale Element ? Für ist . |
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16.03.2018, 11:52 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ist sie nicht. |
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16.03.2018, 12:59 | Samson17 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahhh, danke euch :-) Das zweite Axiom sagt, dass es zu jedem a ein neutrales Element e gibt, sodass e+a=a+e= a ergibt. Wenn mein e=0 ist, so bleibt a doch a Das dritte Axiom besagt, dass es zu jedem a ein inverses Element b gibt, sodass a+b=b+a=0. Und genau hier hänge ich. Sind mit diesem Axiomen a und b aus dem Mittelwert gemeint oder ist mit a EIN Mittelwert gemeint und mit b ein ANDERER ? |
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16.03.2018, 13:13 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn das arithmetische Mittel eine Verknüpfung sein soll, dass muss gelten . Das wird keine Gruppe, wie HAL 9000 und ich schon festgestellt haben. |
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16.03.2018, 13:19 | Samson17 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich glaube, ich habe das Problem mit dem Assoziativsein verstanden. ist nicht das gleiche wie . |
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16.03.2018, 14:25 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So ist es: Bei geltender Assoziativität müsste da dasselbe herauskommen, was hier aber nicht der Fall ist. |
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16.03.2018, 15:35 | rumar | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@Samson17: Diese Ungleichheit solltest du aber nicht einfach behaupten, sondern nachweisen. Zeige also (etwa an einem konkreten Beispiel) dass die beiden Terme im allgemeinen Fall nicht übereinstimmen ! Nur daraus, dass die geschachtelten Bruchterme "anders aussehen", kann man dies nicht schließen ! |
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13.04.2018, 14:18 | Samson17 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Genau das habe ich gemacht, also ein konkretes Beispiel gewählt :-) Danke nochmal. |
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