Rand Abschluss Abgeschlossene Menge

17.03.2018, 16:39

Mario2000

Rand Abschluss Abgeschlossene Menge

Meine Frage:
Gegeben Sei eine Menge A={(x,y) element R^2: x^2 +y^2 = 1}.
Bestimmen Sie den Rand das Innere und den Abschluss der Menge A, ist die Menge A offen oder Abgeschlossen?

=> Zusätzlich Frage ich mich, was der Unterschied zwischen dem Abschluss einer Menge(abgeschlossene Hülle) und einer abgeschlossenen Menge ist.
Ist jede Menge mit einem Abschluss eine abgeschlossene Menge und Umgekehrt?

Meine Ideen:
- A hat ein Rand,
weil für jedes (x,y) element in A gibt es ein e=episilon grösser 0. So dass Ke(x,y) geschnitten mit A ungleich die leere Menge und analog für Komplement von A.
- Abschluss der Menge A.
Für alle (x,y) element von A sind element vom Rand von A => Somit ist A der Abschluss der Menge.
- Innere der Menge A.
Weil die Menge A dem Rand entspricht, folgt daraus das die Menge A ohne den Rand leer ist. Folglich besitzt A keine innere Menge

-Abgeschlossenheit von A (Kontra Position)
Für jedes Punkt (x,y) des Komplement von A gibt es ein Episilon, so das die Umgebung Ke(x,y) wieder im Komplement von A ist=> Dh. das Komplement von A ist offen=>daraus folgt das A abgeschlossen ist.
-Ist die Menge A Offen?
Im R^2 können nur R^2 und die leere Menge gleichzeitig offen und abgeschlossen sein, da weder die leere Menge noch R^2 ist und A abgeschlossen ist, kann A nicht offen sein.

17.03.2018, 17:54

NurEinGast

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RE: Rand Abschluss Abgeschlossene Menge
Es fehlt an Präzision.

Zitat:

Original von Mario2000
Meine Frage:
Gegeben Sei eine Menge A={(x,y) element R^2: x^2 +y^2 = 1}.
Bestimmen Sie den Rand das Innere und den Abschluss der Menge A, ist die Menge A offen oder Abgeschlossen?

=> Zusätzlich Frage ich mich, was der Unterschied zwischen dem Abschluss einer Menge(abgeschlossene Hülle) und einer abgeschlossenen Menge ist.
Ist jede Menge mit einem Abschluss eine abgeschlossene Menge und Umgekehrt?

Der Abschluss einer Menge $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ ist die kleinste abgeschlossene Menge, die $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ enthält. Ist $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ also schon abgeschlossen, ist der Abschluss von $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} M \end{eqnarray*}$ selbst und umgekehrt.
Analog mit dem Inneren einer Menge: das Innere einer Menge $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ ist die größte offene Menge, die in $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ enthalten ist. Ist $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ also schon offen, ist das Innere von $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} N \end{eqnarray*}$ selbst und umgekehrt.

Zitat:

Meine Ideen:
- A hat ein Rand,
weil für jedes (x,y) element in A gibt es ein e=episilon grösser 0. So dass Ke(x,y) geschnitten mit A ungleich die leere Menge und analog für Komplement von A.

Du schreibst etwas konfus. Dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ "einen Rand hat", heißt, dass der Rand von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ nicht leer ist. Was du danach schreibst/versuchst zu schreiben, heißt, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gleich seinem Rand ist. Das sind zwei unterschiedliche Dinge!

Der Nachweis, dass jeder Punkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Randpunkt ist, ist aber auch nicht so gelungen. Vielleicht findest du deinen Fehler selbst, indem ich dein Prozedere auf ein anderes Beispiel anwende:
Betrachte als Beispiel die Menge $\begin{eqnarray*} M = \{ (x,y) \in \mathbb R^2 \, | \, x^2+y^2 < 1\} \end{eqnarray*}$ . Diese Menge ist gleich ihrem Inneren, enthält also keinen ihrer Randpunkte. Wenn man jetzt (z.B.)
$\begin{eqnarray*} \epsilon := 2018 \end{eqnarray*}$ wählt, ist die Bedingung erfüllt, die du geschrieben hast, d.h. für alle $\begin{eqnarray*} (x,y) \in M \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} K_\epsilon(x,y) \cap M \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} K_\epsilon(x,y) \cap (\mathbb R^2 \setminus M) \neq \emptyset \end{eqnarray*}$ . Wo ist also dein Fehler?

Desweiteren, du behauptest hier etwas, nämlich, dass jeder Punkt von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ein Randpunkt ist. Diese Behauptung beweist du aber nicht, sondern schreibst lediglich die (falsche) Definition eines Randpunktes von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ hin und sagst dann, dass jeder Punkt das erfüllt. Du musst das natürlich noch nachweisen, dass das tatsächlich erfüllt ist (behaupten kann man vieles).

Zitat:

- Abschluss der Menge A.
Für alle (x,y) element von A sind element vom Rand von A => Somit ist A der Abschluss der Menge.
- Innere der Menge A.

Die Aussage links vom Implikationspfeil ist sehr komisch formuliert, aber du meinst wohl das Richtige.

Zitat:

Weil die Menge A dem Rand entspricht, folgt daraus das die Menge A ohne den Rand leer ist. Folglich besitzt A keine innere Menge

Etwas komische Formulierung, aber ok.

Zitat:

-Abgeschlossenheit von A (Kontra Position)
Für jedes Punkt (x,y) des Komplement von A gibt es ein Episilon, so das die Umgebung Ke(x,y) wieder im Komplement von A ist=> Dh. das Komplement von A ist offen=>daraus folgt das A abgeschlossen ist.

Du weißt schon von weiter oben, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ gleich seinem Abschluss ist, folglich ist $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen. So wie du es machst, ist es auch in Ordnung, dann musst du deine Behauptung aber beweisen.

(Eine dritte Möglichkeit zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ abgeschlossen ist, ist $\begin{eqnarray*} A = f^{-1}(\{1\}) \end{eqnarray*}$ zu schreiben, wobei $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb R^2 \to \mathbb R, (x,y) \mapsto x^2+y^2 \end{eqnarray*}$ . Wieso folgt daraus die Abgeschlossenheit von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ ?)

Zitat:

-Ist die Menge A Offen?
Im R^2 können nur R^2 und die leere Menge gleichzeitig offen und abgeschlossen sein, da weder die leere Menge noch R^2 ist und A abgeschlossen ist, kann A nicht offen sein.

Ok.

17.03.2018, 18:36

Mario2000

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RE: Rand Abschluss Abgeschlossene Menge
Vielen Dank für deine Antwort. Freude

Ja, mir ist bewusst das es mir bei der Aufgabe an Präzision geschockt

fehlt deshalb bin ich hier
Ich werde es verbessern und morgens nochmals Posten.

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