Maschinenzahlen

17.03.2018, 21:46

Skanceca

Maschinenzahlen

Edit mY+: Bitte: Maschinen (!) Titel modifiziert.

Meine Frage:
Hallo Leute,
Ich habe eine Verständnisfrage zum Thema Maschienenzahlen, bei der ich leider bisher auch online nicht wirklich irgendwas für mich hilfreiches gefunden habe. Ich hoffe ihr könnt mir helfen und verzeiht mir gewisse Formatierungsfehler (das ist das erste Mal, dass ich hier eine Frage stelle und ich kenne mich mit latex leider nur begrenzt aus).

Meine Ideen:
Wir haben in der Numerikvorlesung Maschienenzahlen folgendermaßen definiert:
Eine t-stellige Gleitkommazahl $\begin{eqnarray*} x\neq 0 \end{eqnarray*}$ zur Basis $\begin{eqnarray*} \beta \in \mathbb N, \beta \geq 2 \end{eqnarray*}$ hat die Form
$\begin{eqnarray*} x= \pm d_{1} . d_{2} d_{3} ... d_{t} \times \beta ^{e} \end{eqnarray*}$
mit Ziffern $\begin{eqnarray*} d_{k} \in\left\{ 1,...,\beta -1\right\} \end{eqnarray*}$ . Der Exponent $\begin{eqnarray*} e\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ wird durch $\begin{eqnarray*} d_{1} \neq 0 \end{eqnarray*}$ eindeutig bestimmt. Die Menge $\begin{eqnarray*} \mathbb F =\mathbb F_{\beta ,t} \end{eqnarray*}$ aller Gleitkommezahlen zusammen mit 0 heißt Maschienenzahlen.

Alternative Darstellungen:
$\begin{eqnarray*} x= \pm d_{1} .d_{2} ...d_{t}\times \beta ^{e} \cdot \frac{\beta ^{t-1}}{\beta ^{t-1}} = \pm d_{1}d_{2}...d_{t}\times \beta ^{e+1-t}, e\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$
Damit sind wir auch gleich bei meiner ersten Frage hierzu: auf diese alternative Darstellung komme ich ganz einfach über Verschiebung des Komma(?) und den normalen Rechengesetzen für Exponenten, oder? Die kann ich hier immernoch klassisch anwenden und der Punkt ist wie ein Komma zu behandeln?
Desweiteren hoffe ich, dass hier jemand mein Verständnis soweit verbessern könnte, falls ich mit Irgendwas im Folgenden falsch liege:
So wie ich das sehe (und nach dem, was ich bisher dazu gefunden habe) handelt es sich um Kommazahlen, beispielsweise Im Dezimalsystem, aber je nach Wahl von $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ sind auch andere Systeme, z.B. das Binärsystem möglich, falls $\begin{eqnarray*} \beta = 2 \end{eqnarray*}$ . Meine "Ziffern" $\begin{eqnarray*} d_{k} \end{eqnarray*}$ sind entsprechend durch dieses System, oder eben $\begin{eqnarray*} \beta \end{eqnarray*}$ beschränkt, also im Dezimalsystem alle Zahlen von 0 bis 9, im Binärsystem eben nur 0 und 1. Soweit mein Verständnis zur Definition bisher; ich hoffe auch, das ich bis hierher alles richtig verstanden habe. Verständnisprobleme fangen im weiteren Teil der Definition an.

Ich habe keine Ahnung, wie ich das in Latex schreiben kann, deshalb schreibe ich es einfach in Worten und hoffe, dass es verständlich ist: Wir haben in der Alternativen Darstellung, also die Formel hinter dem letzten = Zeichen unter die $\begin{eqnarray*} d_{1}...d_{t} \end{eqnarray*}$ eine geschweifte Klammer gemacht (also wie eine Mengenklammer oder generell, was man halt macht um etwas zusammenzufassen) und haben das m genannt. Weiter folgte in der Definition:
$\begin{eqnarray*} max.m: d_{i}=\beta -1, i=1,..t\Rightarrow m=\beta ^t-1 \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} min.m: d_{1}= 1, d_{i}=0, i=2,..t\Rightarrow m=\beta ^{t-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \Rightarrow m\in \left\{\beta^{t-1}, \beta^{t-1}+1, ..., \beta^{t}-1 \right\} \end{eqnarray*}$
So, dazu meine Fragen: Erstmal ganz banal: Was sagt dieses m aus? Ich nehme mal an, dass es in anderen Definitionen auch vorkommt, denn auch wenn so ziemlich alle Definitionen die ich so online gefunden habe etwas anders als wir definieren (meistens mit $\begin{eqnarray*} d_{1}=0 \end{eqnarray*}$ ), sollte das doch irgendwo ähnlich sein. Ist das die Anzahl der $\begin{eqnarray*} d_{i}s \end{eqnarray*}$ ? Das kommt mir halt eher unwahrscheinlich vor, weil das ja einfach t wäre. Meiner Vermutung nach, ist es das Produkt. Was genau es dann aber aussagt verstehe ich nicht wirklich, da hoffe ich auf eine Erklärung. Und wenn es das Produkt ist, dann kann ich die Formel für das Maximum von m nich nachvollziehen, denn ich glaube (soll viel Mathe sollte ich grade noch können), dass dann das Produkt der $\begin{eqnarray*} d_{i}=\beta -1 \end{eqnarray*}$ gleich $\begin{eqnarray*} (\beta-1)^{t} \end{eqnarray*}$ sein müsste. Analog komme ich dann auch nicht mit der Formel für das Minimum klar. Natürlich kann es auch sein, dass ich mich einfach so auf eine falsch Rechnung versteife, dass ich irgendwas offensichtliches übersehe. Dann bitte ich ich um Aufklärung und Entschuldigung. Das ist eigentlich mein Hauptproblem, wenn ihr mir also erklären könntet, was dieses m genau ist, wie man damit arbeitet, was generell (ich weiß, das ist in der Mathematik oft schwer) die anschauliche Aussage von m und damit auch die Rechnungen für Minimum und Maximum, wäre mir schon sehr geholfen.

Ich glaube nicht, dass es wichtig für die Frage ist, aber der Vollständigkeit halber:
Der Exponent e ist begrenzt durch $\begin{eqnarray*} e_{min} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_{max}, e \in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Diese haben wir allerdings nicht weiter eingeschränkt

So, das wars erstmal von meiner Seite, ich hoffe auf schnelle Hilfe, da ich demnächst Klausur in diesem Fach (Numerische Lineare Algebra) schreibe. Dies ist auch so ziemlich mein "Problemfach", also werde ich in den nächsten Tagen wahrscheinlich noch mehr fragen stellen, wenn ich wieder mal auf etwas keine Antwort finde.
Danke schonmal im Vorraus

(Ich hoffe, dass das jetzt funktioniert, meine Formeln werden in der Vorschau nämlich nicht angezeigt. Sie sind der Form: (latex)\Rightarrow m\in \left\{\beta^{t-1}, \beta^{t-1}+1, ..., \beta^{t}-1 \right\} (/latex), wobei die Klammern natürlich eckig sind)

19.03.2018, 11:09

Steffen Bühler

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RE: Maschinenzahlen
Willkommen im Matheboard!

Deine anfänglichen Überlegungen sind richtig.

Das m ist die sogenannte Mantisse. Diese ist aber nicht etwa das Produkt der einzelnen Ziffern! Daher rührt wohl auch Deine Verwirrung.

Bleiben wir der Einfachheit halber im Dezimalsystem. Dann hat die 123 zum Beispiel die Mantisse 1,23 und den Exponenten 10². Aber die 2 und die 3 werden nicht etwa multipliziert!

Und so passt es dann auch, dass bei 3 gegebenen Mantissenstellen die kleinste darstellbare Zahl die 100 (10²) ist und die größte die 999 (10³-1).

Viele Grüße
Steffen

PS: falls Du in der Vorschau das LaTeX nicht gesehen hast, dürftest Du es jetzt ebenfalls nicht sehen. In diesem Fall schalte Java in Deinem Browser ein.

19.03.2018, 13:55

Skanceca

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RE: Maschinenzahlen
Danke für die schnelle Antwort, das hat mir mit der Anschauung, was die Mantisse ist, und warum das Maximum und Minimum so definiert sind, enorm geholfen.
Könntest vielleicht noch kurz einen Blick auf meine Versuche werfen, Minimum und Maximum formal zu berechnen?
Wenn ich das mit der Mantisse jetzt richtig verstanden habe, wäre mein Ansatz für das Maximum mit der geometrischen Reihe, also:

$\begin{eqnarray*} max.m:di=\beta - 1, i=1,...,t\Rightarrow m=(\beta -1)+(\beta -1)\cdot \beta ^{1}+(\beta -1)\cdot \beta ^{2}+...++(\beta -1)\cdot \beta ^{t-1}=(\beta -1)\cdot \sum\limits_{k=0}^{t-1} \beta^{k} =(\beta -1)\frac{1-\beta ^t}{1-\beta } =(\beta -1)\frac{-(\beta ^t-1)}{-(\beta -1)} =\beta ^t-1 \end{eqnarray*}$

Für das Minimum hätte ich dann:

$\begin{eqnarray*} min.m: d1=1, di=0, i=2,...t\Rightarrow m=0\cdot \beta ^0+0\cdot \beta ^1+...+0\cdot \beta ^{t-2}+1\cdot \beta ^{t-1}=\beta ^{t-1} \end{eqnarray*}$

Also im Grunde habe ich einfach die Ziffern von rechts nach links mit den jeweiligen Potenzen versehen und addiert um auf die Mantisse zu kommen.
Ich bin mir halt nur noch nicht ganz sicher, ob ich das auch so machen darf mit der Definition der Mantisse; es kommt ja immer mal wieder vor, dass man, wenn man das Ergebnis kennt Fehler macht um dahin zu kommen.

19.03.2018, 14:19

Steffen Bühler

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RE: Maschinenzahlen

Zitat:

Original von Skanceca
es kommt ja immer mal wieder vor, dass man, wenn man das Ergebnis kennt Fehler macht um dahin zu kommen.

Du sprichst ein großes Wort gelassen aus. smile

Nein, in diesem Fall passt alles.

Viele Grüße
Steffen

19.03.2018, 14:35

Skanceca

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RE: Maschinenzahlen
Dann bedanke ich mich hiermit ganz herzlich bei dir und stelle mal in den Raum, dass ich vielleicht nicht alles perfekt verstehe zu dem Thema (Wann tut man das schon...) aber gut genug, um mit Fragen auf Klausurniveau zurechtzukommen.

Gruß

Skanceca

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