Minimalstelle einer Funktion

18.03.2018, 09:43

nim

Minimalstelle einer Funktion

Meine Frage:
Hallo smile

von folgender Funktion soll das Minimum errechnet werden:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{30-x}{\sqrt{x^{2}-60x+1300 } } -\frac{x}{\sqrt{x^{2}+100 } } \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Mit welchen Verfahren/Umformungen kommt man am geschicktesten auf das Ergebnis (x=10).

Viele Grüße

18.03.2018, 10:22

sibelius84

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Hi,

das hintere Nennerpolynom ist offenbar irreduzibel. Beim vorderen sieht man es nicht so unmittelbar, aber doch relativ schnell, da ja $\begin{eqnarray*} 1300 > 900 = \left(\frac{60}{2}\right)^2 \end{eqnarray*}$ .

Also wird es mE wohl keine schicken Faktorisierungstricks geben und man muss beides auf einen Nenner bringen, gemäß der Formel

$\begin{eqnarray*} \frac a b + \frac c d = \frac{ad+bc}{bd} \end{eqnarray*}$ ,

mit a=30-x, b=vordere Wurzel, c=x, d=hintere Wurzel.

Die Quotientenregel wird richtig hässlich, aber da wird man wohl durchmüssen. Ich sehe zurzeit nicht, dass die Funktion f' analytisch ermittelbare Extremwertstellen hätte. Vielleicht öffnet sich da nachher noch ein Fenster.

(Du meinst aber nicht eventuell, dass das Minimum der Stammfunktion f von f' gesucht ist, und wir mithin die Nullstellen von f' berechnen müssen? Dies ginge einfach durch Rüberbringen des rechten Summanden, quadrieren, umformen und pq-Formel.)

LG
sibelius84

18.03.2018, 10:30

Helferlein

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@sibelius: Es geht um das Minimum von f, was nim aber falsch ausgedrückt hat.
Zumindest scheint mir $\begin{eqnarray*} f''(10)<0 \end{eqnarray*}$ zu gelten, während $\begin{eqnarray*} f'(10)=0 \end{eqnarray*}$

Trotzdem sehe ich keinen einfachen Lösungsweg.
Eventuell ist die Ermittlung gar nicht gefragt, sondern es geht nur um den Nachweis, dass die Funktion dort ein Minimum besitzt? Das wäre dann nämlich nur einsetzen und Vorzeichenwechselkriterium anwenden.

18.03.2018, 10:37

sibelius84

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Ok, die pq-Formel ziehe ich zurück Augenzwinkern

Aber an sich denke ich, falls die Aufgabe so gestellt ist, dass es einen gangbaren Lösungsweg gibt, müsste das irgendwie hinhauen:

$\begin{eqnarray*} f'(x)\stackrel{!}=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow \quad \frac{30-x}{\sqrt{x^2-60x+1300}} = \frac{x}{\sqrt{x^2+100}}\qquad\vert\,(\ldots)^2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Longrightarrow \quad \frac{900-60x+x^2}{x^2-60x+1300} = \frac{x^2}{x^2+100}\qquad\vert\,\cdot HN=(x^2-60x+1300)(x^2+100) \end{eqnarray*}$

Dann hat man eine normierte polynomiale Gleichung vierten Grades und mit einem Minimum an Glück bzw. lehr-/lernpsychologischem Talent des Aufgabenstellers so 1-2 ganzzahlige Nullstellen, die man durch systematisches Probieren mit dem Horner-Schema erraten kann.

edit: klar, ich Idiot, man hat doch die ganzzahlige Nullstelle x=10. Engel

18.03.2018, 10:45

nim

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Hi sibelius,

das Minimum der Stammfunktion ist gesucht. Sorry, da habe ich mich nicht richtig ausgedrückt.
Bis zum quadrieren ist alles klar:

$\begin{eqnarray*} \frac{x^{2} }{x^{2}+100 } =\frac{900-x^{2}}{x^{2}-60x+130 } \end{eqnarray*}$

Danach komme ich nicht mehr weiter.

18.03.2018, 10:47

sibelius84

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Du hast bei (30-x)² anscheinend die dritte binomische Formel angewendet, hättest aber die zweite anwenden müssen (obwohl ich das korrekte Ergebnis ja sogar schon gepostet hatte).

19.03.2018, 17:05

HAL 9000

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Zitat:

Original von nim
das Minimum der Stammfunktion ist gesucht.

Wenn du nicht gerade das Vorzeichen von $\begin{eqnarray*} f' \end{eqnarray*}$ vergurkt hast, dann geht es wohl eher um das Maximum, denn $\begin{eqnarray*} f(x) = C-(\sqrt{x^2-60x+1300}+\sqrt{x^2+100}) \end{eqnarray*}$ als Funktion über $\begin{eqnarray*} \mathbb{R} \end{eqnarray*}$ hat kein Minimum, weder lokal noch global. unglücklich

22.03.2018, 09:26

Equester

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Wohl ein Vorzeichenfehler.

Damit es nicht weiter zu Verwirrungen kommt, in einem neuen Thread:

Gleichung vereinfachen

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