Ebene Kurve von Parameterdarst. in kartes. Darstellung

18.03.2018, 16:39

Bfury

Ebene Kurve von Parameterdarst. in kartes. Darstellung

Man bestimme die kartesische Gleichung der folgenden parametrisierte Kurve:

$\begin{eqnarray*} c(t) := (\cos^2(t), \sin^2(t))^T \end{eqnarray*}$

Hallo,

ich war mir nicht sicher, ob ich hier richtig vorgegangen bin. Mein Ansatz:

$\begin{eqnarray*} \phi(t) = x = \cos^2(t) \Rightarrow \sqrt{x} = \cos(t) \Rightarrow \arccos\sqrt{x} = t \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \varphi(t) = y = \sin^2(t) \end{eqnarray*}$ und mit $\begin{eqnarray*} t = \arccos\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ somit

$\begin{eqnarray*} y = \sin^2(\arccos\sqrt{x}) \end{eqnarray*}$

Ist das richtig oder habe ich etwas grundlegend falsch verstanden?

Vielen Dank Wink

18.03.2018, 16:57

sibelius84

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Hi,

sieht ganz gut aus, du müsstest dich evtl. nur noch um den Parameterbereich kümmern:

$\begin{eqnarray*} y = \arccos(\pm\sqrt x) \end{eqnarray*}$ .

Das ist so natürlich keine Definition einer Funktion, also müsstest du es evtl noch geeignet in zwei Teile teilen.

LG
sibelius84

18.03.2018, 17:10

Bfury

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Zitat:

Original von sibelius84
Hi,

sieht ganz gut aus, du müsstest dich evtl. nur noch um den Parameterbereich kümmern:

$\begin{eqnarray*} y = \arccos(\pm\sqrt x) \end{eqnarray*}$ .

Stimmt natürlich, da hab' ich nicht aufgepasst. Danke dir.

Zitat:

Das ist so natürlich keine Definition einer Funktion, also müsstest du es evtl noch geeignet in zwei Teile teilen.

LG
sibelius84

Danke für den zusätzlichen Hinweis. Wie würde ich das in diesem Fall machen? Bzw. wie würde ich allgemein bei solchen Aufgaben dabei vorgehen?

Um die Definition einer Funktion zu erfüllen, muss ja gelten, dass für alle x aus dem Urbildbereich maximal ein y so existiert, dass f(x) = y gilt. Wo scheitert das hier? Ich stehe diesbezüglich etwas auf dem Schlauch bzw sehe es leider noch nicht.

Vielen Dank Wink

18.03.2018, 17:17

Bfury

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Zitat:

Um die Definition einer Funktion zu erfüllen, muss ja gelten, dass für alle x aus dem Urbildbereich maximal ein y so existiert, dass f(x) = y gilt. Wo scheitert das hier? Ich stehe diesbezüglich etwas auf dem Schlauch bzw sehe es leider noch nicht.

Hier sollte es natürlich genau ein y heißen, nicht maximal ein y. Hammer

18.03.2018, 19:55

sibelius84

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Wenn du in der Gleichung eine (Quadrat-)Wurzel ziehst, dann musst du eben an das "+/-" denken. Das gibt dann zwei Funktionen $\begin{eqnarray*} f_1(x)=\arccos(\sqrt x), f_2(x)=\arccos(-\sqrt x) \end{eqnarray*}$ , die beide auf [0,1] definiert sind.

Ist übrigens genauso, wenn du den Einheitskreis als Funktionsgraphen darstellen willst. Das geht nämlich erstmal nicht, weil ja bspw. zum x-Wert 1/2 die zwei y-Werte $\begin{eqnarray*} \pm \frac 1 2 \sqrt 3 \end{eqnarray*}$ gehören. Du kannst also nur Folgendes machen:

$\begin{eqnarray*} x^2+y^2=1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \Leftrightarrow y=\pm\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ ,

also ist diese Kurve gerade gleich der Vereinigung der beiden Funktionsgraphen von $\begin{eqnarray*} g_1(x)=\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g_2(x)=-\sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ .

edit:
Übrigens gilt $\begin{eqnarray*} c(t)=\frac 1 2 \begin{pmatrix}1+\cos(2t) \\ 1-\cos(2t) \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , eventuell könnte man damit noch eine nettere Darstellung finden? Mit etwas Glück dann sogar ein cos(arccos(...)), der sich auflöst.

Und übrigens gilt $\begin{eqnarray*} \sin(\arccos(x)) = \sqrt{1-x^2} \end{eqnarray*}$ , evtl. kann das auch noch zur Verschönerung beitragen. Augenzwinkern

edit2:
Oder man sieht direkt, dass die Summe beider Komponenten immer 1 ergibt.

18.03.2018, 21:27

Bfury

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vielen Dank erneut für deine Tipps Freude

Ich konnte es am Ende soweit vereinfachen, dass übrig blieb:

$\begin{eqnarray*} y = f(x) = 1-x \end{eqnarray*}$

Nun erhalte ich aber sowohl für $\begin{eqnarray*} +\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ als auch für $\begin{eqnarray*} -\sqrt{x} \end{eqnarray*}$ dieselbe kartesische Darstellung am Ende: $\begin{eqnarray*} f(x) = 1-x \end{eqnarray*}$

Erübrigt sich damit das Problem mit der nicht eindeutigen Funktion oder muss ich das trotzdem entsprechend berücksichtigen? Beides führt auf dieselbe Funktion.

Vielen Dank Wink

19.03.2018, 18:10

sibelius84

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Nein, hat sich damit tatsächlich erübrigt. Man könnte sogar Folgendes tun:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix}\cos^2(t) \\ \sin^2(t) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos^2(t) \\ 1-\cos^2(t) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x \\ 1-x \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} 0\leq x \leq 1 \end{eqnarray*}$ . (Nur noch den Wertebereich von cos² abklopfen. Bei manchen Definitionen von 'Kurven' könnte hier Vorsicht geboten sein, aber ganz vorsichtig ausgedrückt: Die Bahn der Kurve ist jedenfalls die selbe.)

19.03.2018, 22:07

Bfury

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Ich danke dir sehr für deine Hilfe Freude

Schönen Abend noch!

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