Ungleichung

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Ted91 Auf diesen Beitrag antworten »
Ungleichung
Meine Frage:
Wie kann ich folgende Ungleichung lösen




Meine Ideen:

Ab da weiß ich nocht so recht weiter.

Gruß Ted91
Helferlein Auf diesen Beitrag antworten »

Die Gleichheitszeichen in den ersten beiden Schrittten müssen Äquivalenzpfeile sein. Danach ist eine Fallunterscheidung notwendig, da deine Umformung nur für korrekt ist.

Einfacher wäre es, die Ausgangsgleichung mit zu multiplizieren, um dann unter Verwendung der dritten binomischen Formel ein Produkt zu erhalten. Dies ist genau dann kleiner als Null, wenn einer oder alle drei Faktoren kleiner als Null sind.
Bürgi Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Ungleichung
Guten Morgen,

eine Anmerkung - und dann tschüß



Du musst Dir also überlegen, wann ein Quotient null oder negativ ist.

Wenn man größer null mit + und kleiner null mit - übersetzt, erhältst Du:



Es ergeben sich also 4 einfache Ungleichungen.


.... und weg! Wink
willyengland Auf diesen Beitrag antworten »

Es hilft auch, sich die Funktion mal zu plotten, damit man sieht, welche Lösungen man finden muss.
Ich tue mich mit Ungleichungen auch immer schwer.
Vielleicht, weil wir das in der Schule nicht hatten?
Macht aber Spaß!
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Um die Gedanken von Bürgi mal noch etwas zu vertiefen:

Es gibt die drei (kombinierten) Nullstellen -1, 0, 1 von Zähler und Nenner des linken Terms. An jeder dieser Nullstellen findet (beim Durchgang) ein Vorzeichenwechsel des Gesamtterms statt - und nur dort! Angesichts dessen muss man nur noch diejenigen Intervalle zwischen diesen Nullstellen detektieren, wo das Gesamtvorzeichen negativ ist, und sich natürlich Gedanken darüber machen, ob die Intervallrandpunkte zur Lösungsmenge gehören oder nicht.
Ted91 Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Antworten smile
Ich bin mir nicht sicher, ob ich alles richtig verstanden habe, aber ich bin jetzt wie folgt vorgegangen.



Gruß Ted91
 
 
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, ist in Ordnung. Wobei man sich die Arbeit etwas erleichtern kann (ich hatte das versucht, in meinem letzten Beitrag anzudeuten, ist wohl nicht so deutlich rübergekommen):

Die Vorzeichenermittlung genügt in einem einzigen Intervall, etwa in dem ersten links . Da hast du richtig festgestellt, dass dort der Term negativ ist.

Danach erfolgt an jeder der Übergangsstellen -1, 0, 1 ein Vorzeichenwechsel, d.h. ohne nochmal nachzurechnen ist dann positives Vorzeichen in , negatives in sowie wieder positives in klar. (*)

Damit gehören die Intervalle sowie zur Lösungsmenge. Die Randpunkte -1 und 1 gehören ebenfalls dazu (dort ist der Termwert 0), während 0 nicht dazugehört, da dort der Term gar nicht definiert ist (Division durch 0).


P.S.: Begründung (*) funktioniert natürlich deshalb, weil die drei (kombinierten) Nullstellen -1, 0, 1 jeweils nur einfach auftreten. Bei einem anderen Term wie etwa geht das so nicht, da dort die 0 doppelte Nullstelle ist, und deshalb beim Durchgang kein Vorzeichenwechsel auftritt - sowas ist bei dieser Art Betrachtung natürlich zu berücksichtigen!
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